常微分方程

常微分方程（ODE）可用于描述动态系统。 从某种程度上来说，我们生活在一个动态系统中，窗外的天气从黎明到黄昏都在变化，我们体内发生的新陈代谢也是一个动态系统，因为随着时间的推移，成千上万的反应和分子被合成和降解。

更正式地说，如果我们定义一组变量，比如一天的温度，或者某个时间点X分子的数量，并且它随着自变量的变化而变化（在动态系统中，通常是时间t） 。 ODE 为我们提供了一种以数学方式描述定义变量动态变化的方法。 与之相反的系统称为静态系统，想象一下拍一张外面的照片，这张快照不包含任何动态，换句话说，它是静态的。

求解常微分方程意味着确定变量如何随着时间的推移而变化，解有时称为解曲线（如下图所示），为任何动态系统的默认行为提供信息预测。

方程式

这里我首先介绍一些术语，读者可以从中受益。常微分方程 (ODE) 看起来像这样：
$$\frac{dR}{dt}=k_0+k_{1}S-k_{2}R$$
这是一个涉及导数的方程，但方程本身没有偏导数。 换句话说，我们只考虑一个自变量，即时间 t。 当我们有多个自变量进来时，它就变成偏微分方程（PDE），这不属于本文的讨论范围。
$$\frac{{\partial }^2\mu }{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2\mu }{\partial y^2}=0$$
在 ODE 中，如果包含因变量的项（在上述情况下为变量 R，包含 R 的项包括 dR/dt 和 k2R）的系数与 R 无关，则该 ODE 被视为线性 ODE。 为了说明这一点，让我向您展示一个非线性 ODE 作为比较：
$$R\frac{dR}{dt}=k_0+k_{1}S-k_{2}R$$
可以看到，现在dR/dt的系数为R，这违反了线性ODE的定义，因此变成了非线性ODE。

最后一对术语，如果变量的导数与自变量（这里是时间t）无关，我们称它们为自治ODE，否则，它成为非自治ODE。同样，非自治 ODE 如下所示：
$$\frac{dR}{dt}=k_{0}t+k_{1}S\times t-k_{2}R$$
现在你可以看到时间 t 位于右侧，因此它是一个非自治 ODE。

求解 S 形信号响应曲线

$$\frac{d{R}_p}{dt}=\frac{k_{1}S\left(R_T-R_P\right)}{k_{m1}+R_T-R_P}-\frac{k_2{R}_P}{k_{m2}+R_P}$$

from scipy.integrate import odeint
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def model(Rp,t,S):k1 = 1k2 = 1Rt = 1km1 = 0.05km2 = 0.05dRpdt = (k1*S*(Rt-Rp)/(km1+Rt-Rp)) - k2*Rp/(km2+Rp)return dRpdt

$$\begin{array}{c}\frac{d{R}_p}{dt}=0\\ \frac{k_{1}S\left(R_T-R_P\right)}{k_{m1}+R_T-R_P}-\frac{k_2{R}_P}{k_{m2}+R_P}=0\end{array}$$

S_all = np.linspace(0,3,100)
def equation(Rp,S):k1 = 1k2 = 1Rt = 1km1 = 0.05km2 = 0.05return k1*S*(Rt-Rp)/(km1+Rt-Rp) - k2*Rp/(km2+Rp)from scipy.optimize import fsolve
store = []
for S in S_all:Rp_ss = fsolve(equation,[1],args=(S,))[0]store.append(Rp_ss)

Python常微分方程求解器

Python符号计算求解常微分方程

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TensorFlow神经常微分方程

时滞微分方程

求解时滞微分方程及其系统的两种数值方法

使用 Lambert W 函数求解一阶时滞微分方程方法

项目：

• 平面常系数线性齐次动力系统分析仪
• 利用 Hartman-Grobman 定理分析平面上非线性自主动力系统

参阅一：亚图跨际

参阅二：亚图跨际