[信号与系统]模拟域中的一阶低通滤波器和二阶滤波器

news/2024/8/6 7:08:54/文章来源:https://blog.csdn.net/Andius/article/details/139860807

模拟域中的一阶低通滤波器传递函数

H ( s ) = 1 s + ω c H(s) = \frac{1}{s + \omega_c}

1. 传递函数的来源

• 电阻 R R
• 电容 C C

高通滤波器

1. 阻抗计算

• 电容的阻抗 Z C = 1 j ω C 1 Z_C = \frac{1}{j\omega C_1}
• 电阻的阻抗 Z R = R 1 Z_R = R_1
2. 电路分析

• 输入电压 V i n V_{in} 加在电容和电阻的串联上。
• 输出电压 V o u t V_{out} 在电阻上。

V o u t = V i n ⋅ Z R Z R + Z C = V i n ⋅ R 1 R 1 + 1 j ω C 1 = V i n ⋅ R 1 ⋅ j ω C 1 1 + j ω R 1 C 1 V_{out} = V_{in} \cdot \frac{Z_R}{Z_R + Z_C} = V_{in} \cdot \frac{R_1}{R_1 + \frac{1}{j\omega C_1}} = V_{in} \cdot \frac{R_1 \cdot j\omega C_1}{1 + j\omega R_1 C_1}

H ( s ) = V o u t V i n = j ω R 1 C 1 1 + j ω R 1 C 1 = s R 1 C 1 1 + s R 1 C 1 H(s) = \frac{V_{out}}{V_{in}} = \frac{j\omega R_1 C_1}{1 + j\omega R_1 C_1} = \frac{s R_1 C_1}{1 + s R_1 C_1}

ω c = 1 R 1 C 1 \omega_c = \frac{1}{R_1 C_1} ，则传递函数为：

H ( s ) = s / ω c 1 + s / ω c H(s) = \frac{s / \omega_c}{1 + s / \omega_c}

低通滤波器

1. 阻抗计算

• 电阻的阻抗 Z R = R 1 Z_R = R_1
• 电容的阻抗 Z C = 1 j ω C 1 Z_C = \frac{1}{j\omega C_1}
2. 电路分析

• 输入电压 V i n V_{in} 加在电阻和电容的串联上。
• 输出电压 V o u t V_{out} 在电容上。

V o u t = V i n ⋅ Z C Z R + Z C = V i n ⋅ 1 j ω C 1 R 1 + 1 j ω C 1 = V i n ⋅ 1 j ω R 1 C 1 + 1 V_{out} = V_{in} \cdot \frac{Z_C}{Z_R + Z_C} = V_{in} \cdot \frac{\frac{1}{j\omega C_1}}{R_1 + \frac{1}{j\omega C_1}} = V_{in} \cdot \frac{1}{j\omega R_1 C_1 + 1}

H ( s ) = V o u t V i n = 1 1 + j ω R 1 C 1 = 1 1 + s R 1 C 1 H(s) = \frac{V_{out}}{V_{in}} = \frac{1}{1 + j\omega R_1 C_1} = \frac{1}{1 + s R_1 C_1}

ω c = 1 R 1 C 1 \omega_c = \frac{1}{R_1 C_1} ，则传递函数为：

H ( s ) = 1 1 + s / ω c H(s) = \frac{1}{1 + s / \omega_c}

微分方程形式

V o u t ( t ) = 1 R C ∫ − ∞ t V i n ( τ ) e − t − τ R C d τ V_{out}(t) = \frac{1}{RC} \int_{-\infty}^{t} V_{in}(\tau) e^{-\frac{t - \tau}{RC}} d\tau

V o u t ( s ) V i n ( s ) = 1 R C ⋅ s + 1 \frac{V_{out}(s)}{V_{in}(s)} = \frac{1}{RC \cdot s + 1}

ω c = 1 R C \omega_c = \frac{1}{RC} ，得到：

H ( s ) = 1 s + ω c H(s) = \frac{1}{s + \omega_c}

2. 频率响应

• s = j ω s = j\omega 时，低频（ ω \omega 较小）信号通过的幅度接近 1，即通过率高。
• ω \omega 较大时，传递函数的值接近 0，即高频信号被大大衰减。

3. 截止频率

ω c \omega_c 是滤波器的截止频率，即在该频率处信号的幅度被衰减到原来的 1 2 \frac{1}{\sqrt{2}} 倍（约 0.707 倍）。它定义了低通滤波器允许通过的最大频率。

H ( s ) = 1 s + ω c H(s) = \frac{1}{s + \omega_c}

二阶滤波器通过联级一阶滤波器的推导

H 1 ( s ) = 1 1 + s / ω c 1 H_1(s) = \frac{1}{1 + s / \omega_{c1}}

H 2 ( s ) = 1 1 + s / ω c 2 H_2(s) = \frac{1}{1 + s / \omega_{c2}}

H ( s ) = H 1 ( s ) ⋅ H 2 ( s ) H(s) = H_1(s) \cdot H_2(s)

H ( s ) = ( 1 1 + s / ω c 1 ) ⋅ ( 1 1 + s / ω c 2 ) H(s) = \left( \frac{1}{1 + s / \omega_{c1}} \right) \cdot \left( \frac{1}{1 + s / \omega_{c2}} \right)

H ( s ) = ( 1 1 + s / ω c ) 2 H(s) = \left( \frac{1}{1 + s / \omega_c} \right)^2

H ( s ) = 1 ( 1 + s / ω c ) 2 = 1 1 + 2 s ω c + ( s ω c ) 2 H(s) = \frac{1}{(1 + s / \omega_c)^2} = \frac{1}{1 + \frac{2s}{\omega_c} + \left( \frac{s}{\omega_c} \right)^2}

H ( s ) = 1 1 + 2 s ω c + ( s ω c ) 2 H(s) = \frac{1}{1 + \frac{2s}{\omega_c} + \left( \frac{s}{\omega_c} \right)^2}

H ( s ) = ω c 2 s 2 + 2 ζ ω c s + ω c 2 H(s) = \frac{\omega_c^2}{s^2 + 2\zeta\omega_c s + \omega_c^2}

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