一、最佳买卖股票的时机含冷冻期
链接：力扣
描述：给定一个整数数组prices，其中第 prices[i] 表示第 i 天的股票价格 。
设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下，你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）:卖出股票后，你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
思路如下：
本题加上了一个冷冻期，II中持有股票后的最多现金，和不持有股票的最多现金。
动规五部曲，分析如下：
1、确定dp数组以及下标的含义
dp[i][j]，第i天状态为j，所剩的最多现金为dp[i][j]。
本题需要区分状态数，具体可以区分出如下四个状态：
- 状态一：持有股票状态（今天买入股票，或者是之前就买入了股票然后没有操作，一直持有）
- 不持有股票状态，这里就有两种卖出股票状态：
- 状态二：保持卖出股票的状态（两天前就卖出了股票，度过一天冷冻期。或者是前一天就是卖出股票状态，一直没操作）
- 状态三：今天卖出股票
- 状态四：今天为冷冻期状态，但冷冻期状态不可持续，只有一天！
j的状态为：
- 0：状态一
- 1：状态二
- 2：状态三
- 3：状态四
在买卖股票最佳时机 1，2，3，4 的题目中
- 动态规划：121.买卖股票的最佳时机
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- 动态规划：122.买卖股票的最佳时机II
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- 动态规划：123.买卖股票的最佳时机III
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- 动态规划：188.买卖股票的最佳时机IV
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「今天卖出股票」是没有单独列出一个状态的归类为「不持有股票的状态」，而本题需要单独列出「今天卖出股票」 一个状态呢？
因为本题有冷冻期，而冷冻期的前一天，只能是 「今天卖出股票」状态，如果是 「不持有股票状态」那么就很模糊，因为不一定是卖出股票的操作。
注意这里的每一个状态，例如状态一，是持有股票股票状态并不是说今天一定就买入股票，而是说保持买入股票的状态即：可能是前几天买入的，之后一直没操作，所以保持买入股票的状态。
1、确定递推公式
达到买入股票状态（状态一）即：dp[i][0]，有两个具体操作：
- 操作一：前一天就是持有股票状态（状态一），dp[i][0] = dp[i - 1][0]
- 操作二：今天买入了，有两种情况
- 前一天是冷冻期（状态四），dp[i - 1][3] - prices[i]
- 前一天是保持卖出股票的状态（状态二），dp[i - 1][1] - prices[i]
那么dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][3] - prices[i], dp[i - 1][1] - prices[i]);
达到保持卖出股票状态（状态二）即：dp[i][1]，有两个具体操作：
- 操作一：前一天就是状态二
- 操作二：前一天是冷冻期（状态四）
dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][3]);
达到今天就卖出股票状态（状态三），即：dp[i][2] ，只有一个操作：
昨天一定是持有股票状态（状态一），今天卖出
即：dp[i][2] = dp[i - 1][0] + prices[i];
达到冷冻期状态（状态四），即：dp[i][3]，只有一个操作：昨天卖出了股票（状态三）
dp[i][3] = dp[i - 1][2];
综上分析，递推代码如下：
3、dp数组如何初始化
这里主要讨论一下第0天如何初始化。
如果是持有股票状态（状态一）那么：dp[0][0] = -prices[0]，一定是当天买入股票。
保持卖出股票状态（状态二），这里其实从 「状态二」的定义来说 ，很难明确应该初始多少，这种情况我们就根据递推公式需要初始成什么数值。
如果i为1，第1天买入股票，那么递归公式中需要计算 dp[i - 1][1] - prices[i] ，即 dp[0][1] - prices[1]，那么dp[0][1] （即第0天的状态二）应该只能初始为0。如果初始为其他数值，第1天买入股票后，手里还剩的现金数量就不对了。
今天卖出了股票（状态三），同上分析，dp[0][2]初始化为0，dp[0][3]也初始为0。
4、确定遍历顺序
从递归公式上可以看出，dp[i] 依赖于 dp[i-1]，所以是从前向后遍历。
5、举例推导dp数组
以 [1,2,3,0,2] 为例，dp数组如下：
代码如下：
class Solution {
public:int maxProfit(vector<int>& prices) {//dp[i][0]:保持持有股票状态//dp[i][1]:保持卖出股票状态//dp[i][2]:卖出股票//dp[i][3]:冷冻期vector<vector<int>>dp(prices.size(), vector<int>(4));dp[0][0] = -prices[0];for (int i = 1; i < prices.size(); i++){dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][1]) - prices[i]);dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][3]);dp[i][2] = dp[i - 1][0] + prices[i];dp[i][3] = dp[i - 1][2];}return max(dp[prices.size() - 1][1], max(dp[prices.size() - 1][2], dp[prices.size() - 1][3]));}
};运行如下：
二、买卖股票的最佳时机含手续费
链接：力扣
描述：给定一个整数数组 prices，其中 prices[i]表示第 i 天的股票价格 ；整数 fee 代表了交易股票的手续费用。你可以无限次地完成交易，但是你每笔交易都需要付手续费。如果你已经购买了一个股票，在卖出它之前你就不能再继续购买股票了。返回获得利润的最大值。
注意：这里的一笔交易指买入持有并卖出股票的整个过程，每笔交易你只需要为支付一次手续费。
思路如下：
与买卖股票的最佳时机II基本一致，本题只需要在计算卖出操作的时候减去手续费就可以了，代码几乎是一样的。唯一差别在于递推公式部分：
1、dp数组的含义：
dp[i][0] 表示第i天持有股票所省最多现金。 dp[i][1] 表示第i天不持有股票所得最多现金
如果第i天持有股票即dp[i][0]， 那么可以由两个状态推出来
- 第i-1天就持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天持有股票的所得现金即：dp[i - 1][0]
- 第i天买入股票，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金减去 今天的股票价格即：dp[i - 1][1] - prices[i]
所以：dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]);
如果第i天不持有股票即dp[i][1]的情况， 依然可以由两个状态推出来
- 第i-1天就不持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][1]
- 第i天卖出股票，所得现金就是按照今天股票价格卖出后所得现金，注意这里需要有手续费了即：dp[i - 1][0] + prices[i] - fee
所以：dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] + prices[i] - fee);
区别就是这里需要多一个减去手续费的操作。
代码如下：
class Solution {
public:int maxProfit(vector<int>& prices, int fee) {vector<vector<int>>dp(prices.size(), vector<int>(2));dp[0][0] = -prices[0] - fee;dp[0][1] = 0;for (int i = 1; i < prices.size(); i++){dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i] - fee);dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] + prices[i]);}return dp[prices.size() - 1][1];}
};运行如下：
三、总结
动态规划：买卖股票的最佳时机II中股票可以买卖多次了！
这也是和121. 买卖股票的最佳时机的唯一区别（注意只有一只股票，所以再次购买前要出售掉之前的股票）
重点在于递推公式的不同。
dp数组的含义：
- dp[i][0] 表示第i天持有股票所得现金。
- dp[i][1] 表示第i天不持有股票所得最多现金
递推公式：
dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]);
dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] + prices[i]);
代码几乎一样，唯一的区别在：
dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]);
这正是因为本题的股票可以买卖多次， 所以买入股票的时候，可能会有之前买卖的利润即：dp[i - 1][1]，所以dp[i - 1][1] - prices[i]。
动态规划：买卖股票的最佳时机III中最多只能完成两笔交易。这意味着可以买卖一次，可以买卖两次，也可以不买卖。
1、确定dp数组以及下标的含义
一天一共就有五个状态，
- 没有操作
- 第一次买入
- 第一次卖出
- 第二次买入
- 第二次卖出
dp[i][j]中 i表示第i天，j为 [0 - 4] 五个状态，dp[i][j]表示第i天状态j所剩最大现金。
2、确定递推公式
需要注意：dp[i][1]，表示的是第i天，买入股票的状态，并不是说一定要第i天买入股票。
dp[i][1] = max(dp[i-1][0] - prices[i], dp[i - 1][1]);
dp[i][2] = max(dp[i - 1][1] + prices[i], dp[i - 1][2]);
dp[i][3] = max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i]);
dp[i][4] = max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] + prices[i]);
3、数组如何初始化
dp[0][0] = 0; dp[0][1] = -prices[0]; dp[0][2] = 0; dp[0][3] = -prices[0]; dp[0][4] = 0;
4、确定遍历顺序
从递归公式其实已经可以看出，一定是从前向后遍历，因为dp[i]，依靠dp[i - 1]的数值。
5、举例推导dp数组
以输入[1,2,3,4,5]为例
可以看到红色框为最后两次卖出的状态。
现在最大的时候一定是卖出的状态，而两次卖出的状态现金最大一定是最后一次卖出。
所以最终最大利润是dp[4][4]
动态规划：买卖股票的最佳时机IV，最多可以完成 k 笔交易。相对于上一道本题需要通过前两次的交易，来类比前k次的交易
1、确定dp数组以及下标的含义
使用二维数组 dp[i][j] ：第i天的状态为j，所剩下的最大现金是dp[i][j]
j的状态表示为：
- 0 表示不操作
- 1 第一次买入
- 2 第一次卖出
- 3 第二次买入
- 4 第二次卖出
- .....
除了0以外，偶数就是卖出，奇数就是买入。
2、确定递推公式
还要强调一下：dp[i][1]，表示的是第i天，买入股票的状态，并不是说一定要第i天买入股票。
for (int j = 0; j < 2 * k - 1; j += 2) {dp[i][j + 1] = max(dp[i - 1][j + 1], dp[i - 1][j] - prices[i]);dp[i][j + 2] = max(dp[i - 1][j + 2], dp[i - 1][j + 1] + prices[i]);
}
最大的区别就是这里要类比j为奇数是买，偶数是卖的状态。
3、dp数组如何初始化
dp[0][j]当j为奇数的时候都初始化为 -prices[0]
代码如下：
for (int j = 1; j < 2 * k; j += 2) {dp[0][j] = -prices[0];
}
在初始化的地方同样要类比j为奇数是买、偶数是卖的状态。
4、确定遍历顺序
从递归公式其实已经可以看出，一定是从前向后遍历，因为dp[i]，依靠dp[i - 1]的数值。
5、举例推导dp数组
以输入[1,2,3,4,5]，k=2为例。
最后一次卖出，一定是利润最大的，dp[prices.size() - 1][2 * k]即红色部分就是最后求解。
动态规划：最佳买卖股票时机含冷冻期
尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票），但有冷冻期，冷冻期为1天
相对于动态规划：122.买卖股票的最佳时机II
本题加上了一个冷冻期
本题则需要第三个状态：不持有股票（冷冻期）的最多现金。
动规五部曲，分析如下：
1、确定dp数组以及下标的含义
dp[i][j]，第i天状态为j，所剩的最多现金为dp[i][j]。
j的状态为：
- 0：持有股票后的最多现金
- 1：不持有股票（能购买）的最多现金
- 2：不持有股票（冷冻期）的最多现金2、确定递推公式
dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]);
dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][2]);
dp[i][2] = dp[i - 1][0] + prices[i];
2、dp数组如何初始化
可以统一都初始为0了。
代码如下：
vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(3, 0));
3、确定遍历顺序
从递归公式上可以看出，dp[i] 依赖于 dp[i-1]，所以是从前向后遍历。
4、举例推导dp数组
以 [1,2,3,0,2] 为例，dp数组如下：
最后两个状态不持有股票（能购买） 和 不持有股票（冷冻期）都有可能最后结果，取最大的。
