极大线性无关组，向量组的秩

\quad 一般地，设 $V$ 是数域 $K$ 上的一个线性空间，${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_s\in V$，则

W : = { k 1 ⋅ α 1 + ⋯ + k s ⋅ α s ∣ k 1 , ⋯ , k s ∈ K } W:=\{k_{1}\cdot \boldsymbol{\alpha}_{1} + \cdots + k_{s}\cdot \boldsymbol{\alpha}_{s}\mid k_{1},\cdots,k_{s}\in K\} W:={k1​⋅α1​+⋯+ks​⋅αs​∣k1​,⋯,ks​∈K}

是由向量组 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_s$ 生成的子空间。

\quad 显然，对于 $\forall \mathbf{\beta }\in W$，$\mathbf{\beta }$ 可由向量组 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_s$ 线性表出。但是，由 上一节 的内容可知，当向量组 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_s$ 线性相关时，$\mathbf{\beta }$ 的表出方式并不唯一。

\quad 表出方式不唯一，就很麻烦！

\quad 为了消除这种“不确定性”，下面引入极大线性无关组的概念。先说明一下思路：我们期望能从向量组 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_s$ 中，找个一个部分组，使得对于 $\forall \mathbf{\beta }\in W$，都可由这个部分组唯一地线性表出。

定义 1. 极大线性无关组：向量组 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_s$ 的一个部分组，如果满足：

（1）这个部分组本身线性无关；

（2）从向量组的其余向量（如果还有的话）中任取一个添加进来，得到的新的部分组线性相关，

则称这个部分组为向量组 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_s$ 的一个 极大线性无关组。

例 1：$\pi$ 是几何空间的一个过原点的平面中，向量 $\vec{a},\vec{b},\vec{c},\vec{d}\in \pi$ 互不共线。

\quad 容易验证， { a ⃗ , b ⃗ } , { a ⃗ , c ⃗ } , { b ⃗ , c ⃗ } , ⋯ \{\vec{a},\vec{b}\},\{\vec{a},\vec{c}\},\{\vec{b},\vec{c}\},\cdots {a ,b },{a ,c },{b ,c },⋯ 都是向量组 $\vec{a},\vec{b},\vec{c},\vec{d}$ 的极大线性无关组。

\quad 由此可见，一个向量组的极大线性无关组可能不止一个。

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\quad 既然，向量组的极大线性无关组的个数不止一个，那我们就要试着在“动” 中寻“静”，在“变量”中寻找“常量”！这就是后面将要介绍的“秩”。

定义 2. 向量组的表出与等价：若向量组 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_r$ 中的任一向量可由向量组 ${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_s$ 线性表出，则称向量组 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_r$ 可由向量组 ${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_s$ 线性表出。

\quad 若向量组 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_r$ 与向量组 ${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_s$ 可以互相线性表出，则称向量组 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_r$ 与向量组 ${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_s$ 等价。记作：

{ α 1 , α 2 , ⋯ , α r } ≅ { β 1 , β 2 , ⋯ , β s } . \{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{r}\} \cong \{\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},\cdots,\boldsymbol{\beta}_{s}\}. {α1​,α2​,⋯,αr​}≅{β1​,β2​,⋯,βs​}.

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定理 1. 等价的性质：

$(i)$（反身性）任一向量组 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_r$ 都与其自身等价。即：

{ α 1 , α 2 , ⋯ , α r } ≅ { α 1 , α 2 , ⋯ , α r } \{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{r}\} \cong \{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{r}\} {α1​,α2​,⋯,αr​}≅{α1​,α2​,⋯,αr​}

$(ii)$（对称性）若向量组 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_r$ 与向量组 ${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_s$ 等价，则向量组 ${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_s$ 也与向量组 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_r$ 等价。即：

( { α 1 , α 2 , ⋯ , α r } ≅ { β 1 , β 2 , ⋯ , β s } ) ⟺ ( { β 1 , β 2 , ⋯ , β s } ≅ { α 1 , α 2 , ⋯ , α r } ) \left(\{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{r}\} \cong \{\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},\cdots,\boldsymbol{\beta}_{s}\}\right)\Longleftrightarrow \left(\{\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},\cdots,\boldsymbol{\beta}_{s}\} \cong \{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{r}\} \right) ({α1​,α2​,⋯,αr​}≅{β1​,β2​,⋯,βs​})⟺({β1​,β2​,⋯,βs​}≅{α1​,α2​,⋯,αr​})

$(iii)$（传递性）若向量组 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_r$ 与向量组 ${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_s$ 等价，向量组 ${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_s$ 与向量组 ${\mathbf{\gamma }}_1,{\mathbf{\gamma }}_2,\cdots ,{\mathbf{\gamma }}_t$ 等价，则向量组 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_r$ 与向量组 ${\mathbf{\gamma }}_1,{\mathbf{\gamma }}_2,\cdots ,{\mathbf{\gamma }}_t$ 等价。

注：显然，两个向量组要么等价，要么不等价，二者只居其一，且必居其一。因此，等价是一种关系。

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\quad 下面，来探讨一下极大线性无关组的性质。

性质 1：向量组与其任一个极大线性无关组等价。

证明：按照定义，证明向量组与其部分组可以互相线性表出即可。

\quad 一般地，不妨设向量组 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_s$ 的一个极大线性无关组为 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m$，$m\le s$.

\quad 显然，对于任意的 $1\le j\le m$，成立

$${\mathbf{\alpha }}_j=0\cdot {\mathbf{\alpha }}_1+\cdots +0\cdot {\mathbf{\alpha }}_{j-1}+1\cdot {\mathbf{\alpha }}_j+0\cdot {\mathbf{\alpha }}_{j+1}+\cdots +0\cdot {\mathbf{\alpha }}_s.$$

即向量组 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m$ 可由向量组 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_s$ 线性表出。

\quad 下面证明：向量组 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_s$ 可由其部分组 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m$ 线性表出。

\quad 一方面，对于任意的 ${\mathbf{\alpha }}_i$（$1\le i\le m$），显然 ${\mathbf{\alpha }}_i$ 可由向量组 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m$ 线性表出。

\quad 另一方面，对于任意的 ${\mathbf{\alpha }}_i$（$m+1\le i\le s$），由于向量组 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m$ 是原向量组的一个极大线性无关组，因此新的向量组 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m,{\mathbf{\alpha }}_i$ 一定线性相关，再由于 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m$ 线性无关，根据 上一节 的结论，${\mathbf{\alpha }}_i$ 必能被向量组 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m$ 线性表出。

\quad 综上，向量组 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_s$ 与其极大线性无关组 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m$ 可以互相线性表出，即等价。

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性质 2：向量组的任意两个极大线性无关组等价。

证明：

\quad 由等价的传递性，结论是显然的。

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\quad 观察向量组的极大线性无关组，它们之间似乎有些共同的特点。容易猜测：向量组的任一个极大线性无关组所含向量的个数相同。下面，我们来证实这一猜测。

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引理 1：设向量组 ${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_r$ 可由向量组 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_s$ 线性表出，若 $r>s$，则向量组 ${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_r$ 线性相关。

证明：

\quad 向量组 ${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_r$ 可由向量组 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_s$ 线性表出，于是存在一系列的 $a_{ij}$（$1\le i\le r,1\le j\le s$）使得

$$\{\begin{array}{l}{\mathbf{\beta }}_1=a_{11}{\mathbf{\alpha }}_1+a_{21}{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +a_{s1}{\mathbf{\alpha }}_s\\ {\mathbf{\beta }}_2=a_{12}{\mathbf{\alpha }}_1+a_{22}{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +a_{s2}{\mathbf{\alpha }}_s\\ \cdots \cdots \\ {\mathbf{\beta }}_r=a_{1r}{\mathbf{\alpha }}_1+a_{2r}{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +a_{sr}{\mathbf{\alpha }}_s\end{array}$$

\quad 要证明向量组 ${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_r$ 线性相关，即要证明存在 $r$ 个不全为零的数 $x_1,x_2,\cdots ,x_r$ 使得

$$x_1{\mathbf{\beta }}_1+x_2{\mathbf{\beta }}_2+\cdots +x_r{\mathbf{\beta }}_r=0.$$

将前面的 $r$ 个等式代入，即有

$$x_1(a_{11}{\mathbf{\alpha }}_1+a_{21}{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +a_{s1}{\mathbf{\alpha }}_s)+x_2(a_{12}{\mathbf{\alpha }}_1+a_{22}{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +a_{s2}{\mathbf{\alpha }}_s)+\cdots +x_r(a_{1r}{\mathbf{\alpha }}_1+a_{2r}{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +a_{sr}{\mathbf{\alpha }}_s)=0.$$

整理一下，即有

$$(a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1r}{x}_r){\mathbf{\alpha }}_1+(a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2r}{x}_r){\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +(a_{s1}{x}_1+a_{s2}{x}_2+\cdots +a_{sr}{x}_r){\mathbf{\alpha }}_s=0$$

显然，上式各项系数为零时，等式是成立的，为此，我们考虑方程组

$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1r}{x}_r=0\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2r}{x}_r=0\\ \cdots \cdots \\ a_{s1}{x}_1+a_{s2}{x}_2+\cdots +a_{sr}{x}_r=0\end{array}$$

\quad 由于 $r>s$，因此上面的齐次线性方程组必定有非零解。

\quad 任取其一非零解 $(k_1,k_2,\cdots ,k_r)$，代入上述方程组，显然有

$$k_1{\mathbf{\beta }}_1+k_2{\mathbf{\beta }}_2+\cdots +k_r{\mathbf{\beta }}_r=0.$$

从而向量组 ${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_r$ 线性相关。

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推论 1：设向量组 ${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_s$ 可由向量组 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_r$ 线性表出，若 ${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_s$ 线性无关，则 $s\le r$。

证明：

\quad 显然是 引理 1 的直接推论。

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引理 1 的作用是明显的，它从线性表出这个范畴中推出了向量组个数之间的关系。

推论 2：等价的线性无关的两个向量组所含的向量的个数相等。

推论 3：向量组的任意两个极大线性无关组所含向量的个数相等。

定义 3. 向量组的秩：向量组的任一个极大线性无关组所含向量的个数称为 秩。

规定：只含有零向量的向量组的秩为 $0$，记作 r a n k { 0 } = 0 rank ~ \{\boldsymbol{0}\} = 0 rank {0}=0.

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最后，做一些总结。

命题 1：向量组 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_s$ 线性无关 $⟺$ r a n k { α 1 , α 2 , ⋯ , α s } = s rank ~ \{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{s}\}= s rank {α1​,α2​,⋯,αs​}=s。

命题 2：若向量组 $(I)$ 可由向量组 $(II)$ 线性表出，则 $rank(I)\le rank(II)$。

命题 3：等价的向量组具有相同的秩。

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参考：

1. 邱维声. 高等代数课程. 哔哩哔哩.

2. 邱维声. 高等代数——大学高等代数课程创新教材（上册），北京：清华大学出版社，2010.06.

3. 邱维声. 高等代数——大学高等代数课程创新教材（下册），北京：清华大学出版社，2010.10.