堆结构与堆排序
文章目录
- 堆结构与堆排序
- 引入堆
- 堆结构所满足的数学特性
- 准备代码
- ----------- 往堆中插入元素
- ----------- 删除堆顶
- 堆排序构建
- 完整代码及测试
- 动态分配版本
- 非动态版本
引入堆
-
二叉树
具有左孩子与右孩子的最普通的二叉树。 -
满二叉树
特殊的二叉树:每个节点如果有孩子则一定同时具有左孩子与右孩子。
满二叉树的条件:
- 要么有两个孩子,要么没有孩子
- 叶子节点在同一层
满二叉树有如下规律:
如果层数为n
第n层节点数 一定为 2^(n-1)
整颗树节点数 为 2^n - 1
-
完全二叉树
能够使得满二叉树 从 下边和右边开始删节点的 二叉树 , 满足从右往左 从下往上删除 (和 阅读顺序 相反)-
满二叉树一定是完全二叉树
-
完全二叉树不一定是满二叉树
-
-
堆
堆是有序的完全二叉树。
父子之间必须有序,父大于子或者子大于父,同层兄弟之间不用管
- 父大于子:最大堆(大顶堆)
- 子大于父:最小堆(小顶堆)
堆结构所满足的数学特性
下标关系:
-
150 的 下标为 0 ,260 的下标为1,290的下标为3,400的下标为7。共同点:都是父节点的左孩子,父节点的下标*2+1=左孩子的下标
-
150的下标为0,300的下标为2,400的下标为6;260的下标为1,320的下标为4,500的下标为10。共同点:都是父节点的右孩子,父节点的下标*2+2=右孩子的下标
-
相反,已知400的下标为7,则290的下标为3,260的下标为1。共同点:已知左孩子的下标,(左孩子下标-1)/2得到父节点的下标
-
已知500的下标为10,320的下标为4,260 的下标为1。共同点:已知右孩子的下标,(右孩子下标-2)/2得到父节点的下标
总结:
父亲推孩子:
已知父节点下标为N
左孩子下标为:2*N + 1右孩子下标为:2*N + 2
孩子反推父亲:
已知左孩子下标为M 父节点下标为: (M-1)/2
已知右孩子下标为M 父节点下标为: (M-2)/2已知孩子下标为M 父节点下标为: (M-1)/2
准备代码
template <class T>
class My_Heap
{
private:T* pRoot; //指向堆的指针,实际上是一个动态数组int len; //元素个数int MaxLen; //容量
public:My_Heap(){pRoot = nullptr;len = MaxLen = 0;}~My_Heap(){delete[] pRoot;pRoot = nullptr;len = MaxLen = 0;}//往堆中插入元素void insert(const T& data);//遍历void travel()const;//删除堆顶T pop();
};
----------- 往堆中插入元素
我们采用 小顶堆的方式,即保证孩子节点要比父亲节点大。
采用动态内存分配的方法,插入一个节点到数组中。
从堆底开始,根据下标关系找到对应的父节点.
插入步骤:(小顶堆)
- 比较插入节点与当前父节点的关系
- 如果比父节点小,则当前节点需要上提,交换当前节点与父节点的值
- 如果比父节点大,则说明不冲突,则直接退出即可,因为经过以前的处理此情况一定是合法的。
- 继续比较,直到不冲突或者到达了根节点为止。
注意:我们使用自底向上的方式,每次比较当前节点与父节点的关系,然后需要将当前节点往上提,继续比较和上一层的关系
图例:
要点:从下往上遍历,交换不合适的节点。
template<class T>
inline void My_Heap<T>::insert(const T& data)
{//动态数组//1 像动态数组一样进来if (MaxLen <= len) {//需要申请//计算需要申请的内存大小 //>>1 右移一位 等同于除以2MaxLen = MaxLen + (((MaxLen >> 1) > 1) ? (MaxLen >> 1) : 1);//1 开内存T* pNew = new T[MaxLen];if (pRoot) {//2 pArr指向内存段中数据拷贝到pNew指向内存段memcpy(pNew, pRoot, sizeof(T) * len);//3 释放pArr指向内存段delete[] pRoot;}//4 pArr指向新开内存pRoot = pNew;}pRoot[len++] = data;//循环和父节点比较,如果冲突交换,不冲突,覆盖if (len == 1){return;}int CurrentIdx= len - 1; //孩子节点int ParentIdx = (CurrentIdx - 1) / 2; //父节点T temp;while (1){if (CurrentIdx <= 0)break; //没有父节点,循环结束ParentIdx = (CurrentIdx - 1) / 2;if (pRoot[ParentIdx] < pRoot[CurrentIdx])break; //不冲突,孩子父亲大,则停止//否则,交换元素temp = pRoot[ParentIdx];pRoot[ParentIdx] = pRoot[CurrentIdx];pRoot[CurrentIdx] = temp;//遍历完一次后,接着往上移动,开始重新一次比较CurrentIdx = ParentIdx;}
}
不使用动态内存分配:
void InsertData(int val){arr[++this->size] = val;if (this->size == 1) return;int curLen = this->size;//当前节点int parentLen = curLen >> 1;//父节点while (true){if (curLen <= 1) break;//到达根节点,退出//比较和父节点的关系,比父节点小则交换parentLen = curLen >> 1;if (arr[curLen] > arr[parentLen]){break;}swap(arr[curLen], arr[parentLen]);curLen = parentLen;}}
----------- 删除堆顶
从堆顶开始,把最后一个元素覆盖堆顶元素,接着根据下标关系,找到堆顶的孩子节点,比较两个孩子谁是最小孩子,如果堆顶比最小孩子节点小,则退出(小顶堆)。否则,交换两个节点,要保证父小于子。然后顶堆往下移动,移动到下一层的父节点,比较父子关系。确保在覆盖了原堆顶(即删除了原堆顶)后,整个堆结构仍然是以小堆顶的结构,因此要进行重排,直到数组下标越界为止。
步骤:
- 最后一个元素覆盖堆顶元素
- 当前节点寻找两个孩子节点的最小的那个,并且把那个最小的与当前节点的值作交换
- 当前节点下移,继续寻找最小的元素并且作交换
- 直到超过了下界之后停止。
注意:如果堆顶元素比左右孩子最小的元素都小,则不冲突,因此直接结束循环
图例:
要点:从上往下遍历,重排堆结构的父子关系。
template <class T>
//删除堆顶
T MyHeap<T>::pop(){if (0 == len){cout << "堆为空,删除失败!" << endl;return (T)0;}//没法删if (1 == len){//只有一个len--;return pRoot[0];}//1 临时保存堆顶元素T temp = pRoot[0];//2 最后一个覆盖堆顶元素pRoot[0] = pRoot[len - 1];//3 循环 int currentIdx = 0;//从堆顶开始int minChildIdx;while (1){//数组结束 if ((currentIdx * 2 + 1) > (len - 1) ||(currentIdx * 2 + 2) > (len - 1)){break;}// 找到最小的孩子 minChildIdx = currentIdx * 2 + 1;//假定左孩子比较小//如果左孩子比右孩子大,右孩子最小if (pRoot[minChildIdx] > pRoot[minChildIdx + 1]) minChildIdx++;//比最小孩子还小 循环结束if (pRoot[len-1] < pRoot[minChildIdx]) break;//当前位置和最小孩子交换 //子覆盖父//简单交换方式temp1 = pRoot[CurrentIdx];pRoot[CurrentIdx] = pRoot[MinChildIdx];pRoot[MinChildIdx] = temp1;//往下移动currentIdx = minChildIdx;}//4 返回len--;return temp;
}
不使用动态内存分配
int pop(){/*删除堆顶元素*/if (this->size == 1){this->size = 0;return arr[1];}//1. 最后一个元素覆盖堆顶元素int temp = arr[1];arr[1] = arr[this->size];int curLen = 1;//当前节点int childLen = curLen << 1;//孩子节点while (true){//下移超过了边界则退出if (((curLen << 1) > this->size) || (curLen << 1 | 1) > this->size){break;}//找到两个孩子中最小的一个childLen = curLen << 1;//默认最小的是左孩子if (arr[childLen] > arr[childLen + 1]){childLen += 1;//最小的为右孩子}//堆顶比最小的孩子还小,则无需交换if (arr[this->size] < arr[childLen]) break;//交换当前节点与孩子节点的值swap(arr[childLen], arr[curLen]);curLen = childLen;//下移到孩子}this->size--;//最后总的个数要减一个return temp;}
堆排序构建
template <class T>
//直接用数组方式来构建堆
void MyHeap<T>::initHeap(T* pArr, int size){//开内存maxLen = size;len = 0;pRoot = new T[size];//数据进来pRoot[len++] = pArr[0];//第一个int currentIdx;int parentIdx;for (int i = 1; i < size; i++){currentIdx = len;parentIdx = (currentIdx - 1) / 2;//数据先放进来pRoot[currentIdx] = pArr[i];while (1){if (currentIdx <= 0) break;//没有父节点 循环结束parentIdx = (currentIdx - 1) / 2;if (pRoot[parentIdx] < pRoot[currentIdx]) break;//冲突 父节点覆盖子节点pRoot[currentIdx] = pRoot[parentIdx];//往上移currentIdx = parentIdx;}//新数据覆盖回来pRoot[currentIdx] = pArr[i];//个数增加len++;}
}
完整代码及测试
动态分配版本
#pragma once
#include <iostream>
using namespace std;
template <class T>
class My_Heap
{
private:T* pRoot; //指向堆的指针,实际上是一个动态数组int len; //元素个数int MaxLen; //容量
public:My_Heap(){pRoot = nullptr;len = MaxLen = 0;}~My_Heap(){delete[] pRoot;pRoot = nullptr;len = MaxLen = 0;}//往堆中插入元素void insert(const T& data);//遍历void travel()const;//删除堆顶T pop();void initHeap(T* pArr, int size);
};template<class T>
inline void My_Heap<T>::insert(const T& data)
{//动态数组//1 像动态数组一样进来if (MaxLen <= len) {//需要申请//计算需要申请的内存大小 //>>1 右移一位 等同于除以2MaxLen = MaxLen + (((MaxLen >> 1) > 1) ? (MaxLen >> 1) : 1);//1 开内存T* pNew = new T[MaxLen];if (pRoot) {//2 pArr指向内存段中数据拷贝到pNew指向内存段memcpy(pNew, pRoot, sizeof(T) * len);//3 释放pArr指向内存段delete[] pRoot;}//4 pArr指向新开内存pRoot = pNew;}pRoot[len++] = data;//循环和父节点比较,如果冲突交换,不冲突,覆盖if (len == 1){return;}int CurrentIdx= len - 1; //孩子节点int ParentIdx = (CurrentIdx - 1) / 2; //父节点T temp;while (1){if (CurrentIdx <= 0)break; //没有父节点,循环结束ParentIdx = (CurrentIdx - 1) / 2;if (pRoot[ParentIdx] < pRoot[CurrentIdx])break; //不冲突,循环继续//效率较低temp = pRoot[ParentIdx];pRoot[ParentIdx] = pRoot[CurrentIdx];pRoot[CurrentIdx] = temp;//往上移动CurrentIdx = ParentIdx;}
}template<class T>
inline void My_Heap<T>::travel() const
{for (int i = 0; i < len; i++){cout << pRoot[i] << " ";}cout << endl;
}template<class T>
inline T My_Heap<T>::pop()
{if (len == 0){cout << "堆为空!\n";return (T)0;}if (len == 1){len--; //只有一个元素return pRoot[0];}//1. 临时保存堆顶元素T temp = pRoot[0];T temp1;//2. 最后一个元素覆盖堆顶元素pRoot[0] = pRoot[len - 1];//从堆顶开始int CurrentIdx = 0;int MinChildIdx;while (1){//越界if ((CurrentIdx * 2 + 1) > (len - 1) ||(CurrentIdx * 2 + 2) > (len - 1)){break;}//找到最小孩子//先假设左孩子比较小MinChildIdx = CurrentIdx * 2 + 1;if (pRoot[MinChildIdx] > pRoot[MinChildIdx + 1]){MinChildIdx++; //右孩子比较小}//如果比最小孩子还小if (pRoot[len-1] < pRoot[MinChildIdx])break;//需要交换,采用简单交换, 子覆盖父temp1 = pRoot[CurrentIdx];pRoot[CurrentIdx] = pRoot[MinChildIdx];pRoot[MinChildIdx] = temp1;//父节点往下移动CurrentIdx = MinChildIdx;}len--;return temp;
}template <class T>
//直接用数组方式来构建堆
void My_Heap<T>::initHeap(T* pArr, int size) {//开内存MaxLen = size;len = 0;pRoot = new T[size];//数据进来pRoot[len++] = pArr[0];//第一个int currentIdx;int parentIdx;for (int i = 1; i < size; i++) {currentIdx = len;parentIdx = (currentIdx - 1) / 2;//数据先放进来pRoot[currentIdx] = pArr[i];while (1) {if (currentIdx <= 0) break;//没有父节点 循环结束parentIdx = (currentIdx - 1) / 2;if (pRoot[parentIdx] < pRoot[currentIdx]) break;//冲突 父节点覆盖子节点pRoot[currentIdx] = pRoot[parentIdx];//往上移currentIdx = parentIdx;}//新数据覆盖回来pRoot[currentIdx] = pArr[i];//个数增加len++;}
}
#include "MyHeap.h"#define NUM 11
int main()
{int arr[NUM] = { 150,260,300,290,320,350,500,400,450,490,500 };My_Heap<int> a;/*for (int i = 0; i < NUM; i++){a.insert(arr[i]);a.travel();}*/a.initHeap(arr, NUM);a.travel();return 0;
}
非动态版本
P1177 【模板】快速排序 ----排序测试
Ac code
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cstdio>
using namespace std;
#define int long long
const int N = 1e5 + 10;
const int CurSize = 1e5 + 10;
struct Tree
{int arr[N];int size;Tree() { memset(arr, 0, sizeof(arr)); size = 0; }void InsertData(int val){arr[++this->size] = val;if (this->size == 1) return;int curLen = this->size;//当前节点int parentLen = curLen >> 1;//父节点while (true){if (curLen <= 1) break;//到达根节点,退出//比较和父节点的关系,比父节点小则交换parentLen = curLen >> 1;if (arr[curLen] > arr[parentLen]){break;}swap(arr[curLen], arr[parentLen]);curLen = parentLen;}}int pop(){/*删除堆顶元素*/if (this->size == 1){this->size = 0;return arr[1];}//1. 最后一个元素覆盖堆顶元素int temp = arr[1];arr[1] = arr[this->size];int curLen = 1;//当前节点int childLen = curLen << 1;//孩子节点while (true){//下移超过了边界则退出if (((curLen << 1) > this->size) || (curLen << 1 | 1) > this->size){break;}//找到两个孩子中最小的一个childLen = curLen << 1;//默认最小的是左孩子if (arr[childLen] > arr[childLen + 1]){childLen += 1;//最小的为右孩子}//堆顶比最小的孩子还小,则无需交换if (arr[this->size] < arr[childLen]) break;//交换当前节点与孩子节点的值swap(arr[childLen], arr[curLen]);curLen = childLen;//下移到孩子}this->size--;//最后总的个数要减一个return temp;}
};
signed main()
{Tree t;int n;cin >> n;for (int i = 1; i <= n; i++){int p;cin >> p;t.InsertData(p);}while (t.size != 0){cout << t.pop() << " ";}return 0;
}