一：Radon变换

Radon变换：是一种用于将图像从空间域转换到投影域的数学工具，其基本思想是将图像中每个点的灰度值投影到一组直线上，然后将这些投影合并在一起形成投影域。Radon变换可以用于多种图像处理任务，包括图像重建、特征提取、图像分割等

（1）Radon变换原理

Radon变换原理：给定一个函数$f(x,y)$，Radon变换将其投影到一组线上，得到一组投影值$p(\theta ,s)$。其中$\theta$表示投影线的角度，$s$表示投影线与原点的距离。具体而言，对于每个角度$\theta$，Radon变换将在直线$l_{\theta ,s}$上对函数$f(x,y)$进行积分，其中$l_{\theta ,s}$是距离原点为$s$，与$x$轴成$\theta$角度的直线。投影值$p(\theta ,s)$即为积分结果

可以将Radon变换看作是从二维函数到一维函数的映射，其中每个投影值$p(\theta ,s)$表示了投影线$l_{\theta ,s}$上的一维信息。因此，Radon变换可以用于从一组投影值中重建原始函数$f(x,y)$。这种逆变换被称为逆Radon变换或反投影

（2）Radon变换实现

MATLAB实现：相关函数如下，具体解释可看MATLAB帮助手册

• [R,xp]=radon(I,theta)：Radon变换是一种用于图像处理中的特征提取的方法，可以用于检测图像中的直线特征
  • I为输入的图像
  • theta为变换角度
  • R为变换后的结果
  • xp为变换后的坐标

程序1：对图像进行指定方向上的Radon变换

• 首先，代码读取名为’block.bmp’的灰度图像，并将其分别进行0度和45度方向的Radon变换
• 然后，使用subplot函数将原图像和两个变换后的图像显示在同一张图中，方便比较
• 最后，代码展示了两个变换后的图像的Radon变换曲线，分别对应0度和45度方向。这些曲线可以用于检测图像中的直线特征

clear,clc,close all;
Image=rgb2gray(imread('block.bmp'));
[R1,X1]=radon(Image,0);
[R2,X2]=radon(Image,45);
subplot(131),imshow(Image),title('原图');
subplot(132),plot(X1,R1),title('0度方向的radon变换曲线');
subplot(133),plot(X2,R2),title('45度方向的radon变换曲线');

程序2：对图像进行Radon变换和反变换

• 首先，它读取了名为 “block.bmp” 的图像，并将其转换为灰度图像
• 然后，它使用 “radon” 函数计算了图像在 0 到 180 度方向上的 Radon 变换曲线集合，并找到了这些曲线集合中的最大值
• 接着，它使用 “iradon” 函数对这些曲线进行反变换，从而重建出原始图像
• 最后，它使用 “subplot” 函数将原始图像、Radon 变换曲线集合和重建图像显示在同一张图上

clear,clc,close all;
Image=rgb2gray(imread('block.bmp'));
theta=0:10:180;
[R,X]=radon(Image,theta);
C=max(R);
result=iradon(R,theta);
subplot(131),imshow(Image),title('原图');
subplot(132),imagesc(theta,X,R),title('0-180度方向的radon变换曲线集合');
subplot(133),image(result),title('重建图像');

Python实现：使用Python实现上述同样的功能

程序1：对图像进行指定方向上的Radon变换

import cv2
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']# Load the image
Image = cv2.imread('block.bmp', cv2.IMREAD_GRAYSCALE)# Perform Radon transform
theta = np.arange(0, 180, 1)
R = cv2.radon(Image, theta)# Display the results
fig, (ax1, ax2, ax3) = plt.subplots(1, 3, figsize=(10, 5))
ax1.imshow(Image, cmap='gray')
ax1.set_title('Original Image')
ax2.plot(R[:, 0])
ax2.set_title('Radon Transform (0 degrees)')
ax3.plot(R[:, 45])
ax3.set_title('Radon Transform (45 degrees)')
plt.show()

程序2：对图像进行Radon变换和反变换

import cv2
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']# Load the image
Image = cv2.imread('block.bmp', cv2.IMREAD_GRAYSCALE)# Perform Radon transform
theta = np.arange(0, 181, 10)
R = cv2.radon(Image, theta)# Get the maximum value of the Radon transform
C = np.max(R)# Perform inverse Radon transform
result = cv2.remap(R, theta, None, cv2.INTER_LINEAR)# Display the images using matplotlib
fig, axs = plt.subplots(1, 3, figsize=(10, 10))
axs[0].imshow(Image, cmap='gray')
axs[0].set_title('Original Image')
axs[1].imshow(R, cmap='gray', extent=(0, 180, 0, R.shape[0]), aspect='auto')
axs[1].set_title('Radon Transform')
axs[2].imshow(result, cmap='gray')
axs[2].set_title('Reconstructed Image')
plt.show()

（3）Radon变换性质

线性：Radon变换是线性的。即，对于任意常数$a,b$和函数$f,g$，有以下等式成立

R{af+bg}=aR{f}+bR{g}\mathcal{R}\{a f+b g\}=a \mathcal{R}\{f\}+b \mathcal{R}\{g\} R{af+bg}=aR{f}+bR{g}

其中$\mathcal{R}\cdot$表示Radon变换。这个性质意味着可以通过对原始函数进行线性组合来计算其Radon变换

平移性：Radon变换是平移不变的。即，对于函数$f(x,y)$和距离向量$d=(d_x,d_y)$，有以下等式成立

R{f(x−dx,y−dy)}(θ,s)=R{f(x,y)}(θ,s−dxcos⁡θ−dysin⁡θ)\mathcal{R}\left\{f\left(x-d_{x}, y-d_{y}\right)\right\}(\theta, s)=\mathcal{R}\{f(x, y)\}\left(\theta, s-d_{x} \cos \theta-d_{y} \sin \theta\right) R{f(x−dx​,y−dy​)}(θ,s)=R{f(x,y)}(θ,s−dx​cosθ−dy​sinθ)

这个性质意味着可以通过平移原始函数来计算其在不同位置上的Radon变换

相似性：Radon变换是相似变换不变的。即，对于函数$f(x,y)$和比例因子$a$，有以下等式成立

R{f(ax,ay)}(θ,s)=1∣a∣R{f(x,y)}(θ,s∣a∣)\mathcal{R}\{f(a x, a y)\}(\theta, s)=\frac{1}{|a|} \mathcal{R}\{f(x, y)\}\left(\theta, \frac{s}{|a|}\right) R{f(ax,ay)}(θ,s)=∣a∣1​R{f(x,y)}(θ,∣a∣s​)

微分：Radon变换具有微分性质。即，对于函数$f(x,y)$，有以下等式成立

∂∂sR{f(x,y)}(θ,s)=−∫−∞∞∂∂yf(x,y)cos⁡θ−∂∂xf(x,y)sin⁡θdx\frac{\partial}{\partial s} \mathcal{R}\{f(x, y)\}(\theta, s)=-\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\partial}{\partial y} f(x, y) \cos \theta-\frac{\partial}{\partial x} f(x, y) \sin \theta d x ∂s∂​R{f(x,y)}(θ,s)=−∫−∞∞​∂y∂​f(x,y)cosθ−∂x∂​f(x,y)sinθdx

这个性质意味着可以通过对Radon变换进行微分来计算原始函数的导数

（4）Radon变换应用

Radon变换应用：

• CT图像重建：计算机断层成像（CT）是一种医学成像技术，通过对人体进行X射线扫描来获取其内部结构的三维图像。CT图像可以通过Radon变换进行重建，将CT扫描的投影数据转换为图像数据。这是由于CT扫描是在不同方向上获取的一系列投影图像，而Radon变换可以将这些投影数据转换为图像数据
• 边缘检测：边缘是图像中最重要的特征之一，因为它们可以提供关于图像中物体的轮廓和形状的信息。Radon变换可以用于检测边缘，因为边缘在投影域中表现出明显的特征。通过检测Radon变换后的图像中的峰值，可以确定原始图像中的边缘位置
• 特征提取：Radon变换还可以用于提取图像中的其他特征，例如纹理和形状。通过计算Radon变换的角度分布函数，可以获得图像中纹理和形状的信息
• 图像分割：图像分割是将图像分成若干个互不重叠的区域的过程。Radon变换可以用于图像分割，因为不同区域的投影数据在投影域中表现出不同的特征。通过分析Radon变换后的图像，可以确定原始图像中不同区域的位置

二：小波变换

小波变换：是一种数学工具，用于将信号分解成不同的频率组件。类似于频谱分析，但小波变换可以捕捉到瞬态信号中的时间和频率信息。简单来说，它可以将信号分成多个不同时间长度和频率范围的子信号，以便更好地理解和处理原始信号

（1）小波

A：定义

小波：小波变换中的“小波”指的是一种基本的函数，可以用于将信号分解成不同的频率组件。这些小波函数具有紧凑的支撑和可变的频率和时间分辨率，使得它们可以在时域和频域之间转换，并能够更好地捕捉信号中的局部特征。数学上，小波是一种能够满足一定条件的局部有限能量函数，通常被定义为具有均值为零的波形函数和尺度函数的线性组合。通过将信号与不同尺度和位置的小波函数进行内积运算，可以得到信号在不同频率上的分解系数，进而实现小波变换。设函数$\psi (t)$满足${\int }_R\psi (t)dt=0$，对其进行平移和伸缩产生函数族：${\psi }_{a,b}(t)=\frac{1}{\sqrt{a}}\psi \left(\frac{t-b}{a}\right),a,b\in R,a\ne 0$，$\psi (t)$称为基小波或母小波，$\alpha$为伸缩因子，$b$为平移因子，${\psi }_{a,b}(t)$为$\psi (t)$生成的连续小波。小波有如下特点

• 紧支撑性： 小波函数在小范围内波动，能量有限，超出一定范围时，波动幅度迅速衰减，具有速降性
• 变化性： 小波函数随尺度因子的变化而变化
• $K$阶消失矩： $\begin{array}{l}{\int }_R{t}^k\Psi (t)dt=0,k=0,1,\cdots ,K-1\end{array}$

B：实例

Haar小波：下图为Harr小波及其频谱

$$\{\begin{array}{l}{\Psi }_H(t)=\{\begin{array}{cc}1& 0\le t<1/2\\ -1& 1/2\le t<1\\ 0& \text{ 其他 }\end{array}\\ {\Psi }_H(\omega )=\frac{1-2e^{\frac{i\omega }{2}}+e^{-i\omega }}{\omega i}\end{array}$$

Morlet小波：下图为Morlet小波及其频谱

$$\{\begin{array}{l}\Psi (t)={\pi }^{-1/4}\left(e^{-i{\omega }_{0}t}-e^{-{\omega }_0^2/2}\right)e^{-t^2/2}\\ \Psi (\omega )={\pi }^{-1/4}\left[e^{-{\left(\omega -{\omega }_0\right)}^2/2}-e^{-{\omega }_0^2/2}{e}^{-{\omega }^2/2}\right]\end{array}$$

Mexico草帽小波：下图为Mexico草帽小波及其频谱

$$\Psi (t)=\left(\frac{2}{\sqrt{3}}{\pi }^{-1/4}\right)\left(1-t^2\right)e^{-t^2/2}$$

（2）一维小波变换

A：连续小波变换

B：时频特性

C：离散小波变换

D：正交小波

（3）二维小波变换

A：定义

B：图像小波分解

C：程序

（4）小波变换在图像处理中的应用