在$n$维欧几里得空间$V$中，有子空间$W$. 如果用自然基$({\mathbf{e}}_i{)}_{1\le i\le n}$，设$W=\mathrm{span}(w_1,\dots ,w_d)(0<d<n)$. 将这个基作Schmidt正交化（并单位化），得到$W$的一个标准正交基$({\eta }_1,\dots ,{\eta }_d)$. 将这个标准正交基扩充为$V$的一个基：$$({\eta }_1,\dots ,{\eta }_d,{\eta }_{d+1},{\eta }_{d+2},\dots ,{\eta }_n).$$

假定从自然基到上述标准正交基的过渡矩阵为$T$: 即$$({\eta }_1,\dots ,{\eta }_d,{\eta }_{d+1},\dots ,{\eta }_n)=({\mathbf{e}}_1,\dots ,{\mathbf{e}}_{\mathbf{n}})T.$$由于自然基排成的矩阵是单位方阵$I_n$, 所以$T$的前$d$列是$({\eta }_1,\dots ,{\eta }_d)$, 并且$T$是正交矩阵。

命题：在$V$的自然基之下，从$V$（沿着$W^{\perp }$）到$W$的正交投影的矩阵是$P_W=({\eta }_1,{\eta }_2,\dots ,{\eta }_d)\left(\begin{array}{c}{\eta }_1^{\top }\\ {\eta }_2^{\top }\\ ⋮\\ {\eta }_d^{\top }\end{array}\right)$. 而在标准正交基$({\eta }_1,\dots ,{\eta }_n)$之下, 从$V$到$W$的正交投影矩阵是$Q_W=\left(\begin{array}{cc}{I}_d& \\ & 0\end{array}\right)$. 有等式$Q_w=T^{-1}{P}_{W}T=T^{\top }{P}_{W}T$.

注：验证$T{Q}_W{T}^{\top }=P_W$比较容易。

例：$V={\mathbb{R}}^3,w=(1,2,3{)}^{\top },W=\mathrm{span}(w)$. 则$\eta =\frac{1}{\sqrt{14}}(1,2,3{)}^{\top }$. 等式$T{Q}_W{T}^{\top }=P_W$是$$\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{14}}& \ast & \ast \\ \frac{2}{\sqrt{14}}& \ast & \ast \\ \frac{3}{\sqrt{14}}& \ast & \ast \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& & \\ & 0& \\ & & 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{14}}& \frac{2}{\sqrt{14}}& \frac{3}{\sqrt{14}}\\ \ast & \ast & \ast \\ \ast & \ast & \ast \end{array}\right)=\frac{1}{14}\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4& 6\\ 3& 6& 9\end{array}\right).$$