0-1背包问题
什么是0-1背包？
有i个物品和一个容量为j的背包，每个物品有重量和价值两个属性；求容量为j的背包能装的物品的最大价值是多少。每个物品智能使用一次。
二维dp数组
- dp[i][j]的含义：表示从前i个物品中，当前背包容量为j的时候，能够装的最大价值是dp[i][j]
- 递推公式：
dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+val[i])dp[i-1][j]表示：不放当前的i物品dp[i-1][j-w[i]] + val[i]表示：放当前物品
- dp数组初始化：可以从递归公式看出来，dp[i][j]是从上面和左上方两个方向推导出来的
- dp[i][0] = 0，背包容量为0，那么价值肯定是0
- 如果第0个物品的重量如果大于当前的背包容量j，则初始化为0，否则初始化为val[0]
- 遍历顺序：先遍历物品，然后在遍历背包；先遍历背包，然后在遍历物品。都是可以的，为什么都可以可以画一个表格就很清晰了，因为无论是先遍历那个，当前的[i,j]需要的前提条件上面和左上方是都会计算过的，所以遍历顺序谁先都可以
- 打印dp数组：debug的时候使用
/*** @param weight 物品重量* @param value 物品价值* @param bagSize 背包容量* @return 背包容量为bagSize的时候，任意取所有物品的一部分的最大价值*/public int knapsack(int[] weight,int[] value,int bagSize) {int N = weight.length;int[][] dp = new int[N+1][bagSize+1];// 初始化 这里可以用写因为初始化数组默认就是0，写出来只是为了明确dp数组的初始化的过程for(int i = 0;i<=N;i++){dp[i][0] = 0;}// 初始化for(int j = weight[0];j<=bagSize;j++){// 将第一个物品的重量作为起始值，因为前面的背包肯定是小于weight[0]的所有不用初始化dp[0][j] = value[0];}for(int i = 1;i<=N;i++){for(int j = 1;j<=bagSize;j++){if(j < weight[i]){// 当前的背包容量小于当前物品的重量就放不进去，当前不放i就是背包中的最大价值dp[i][j] = dp[i-1][j];}else{dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weight[i]]+value[i]);}}}return dp[N][bagSize];}
一维dp数组（滚动数组）
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dp[j]的含义：表示背包容量为j的背包能够背的最大价值是dp[j]
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递推公式：dp[j] = Math.max(dp[j],dp[j-weight[i] + value[i]])
- dp[j]表示：不放当前物品i
- dp[j-weight[i]] + value[i]表示：放当前物品i
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dp数组初始化：dp[0] = 0
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遍历顺序：先遍历物品（编号从小到大），然后在遍历背包（容量从大到小）
- 为什么遍历背包需要从大到小，因为如果从小到大遍历的话，前面的物品会被重复加入背包可以画个图来理解一下
- 为什么遍历背包需要从大到小，因为如果从小到大遍历的话，前面的物品会被重复加入背包可以画个图来理解一下
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打印dp数组：debug使用
/*** @param weight 物品重量* @param value 物品价值* @param bagSize 背包容量* @return 背包容量为bagSize的时候，任意取所有物品的一部分的最大价值*/public int knapsack(int[] weight, int[] value, int bagSize) {int[] dp = new int[bagSize + 1];for (int i = 0; i < weight.length; i++) {for (int j = bagSize; j >= weight[i]; j--) {dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);}}return dp[bagSize];}
分割等和子集
题目：给你一个 只包含正整数 的 非空 数组 nums 。请你判断是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。
思路：本题可以抽象成一个0-1背包的问题，就是从数组nums中选择几个数的和为sum/2；物品：nums中的元素，物品的价值和重量都是元素值的本身，需要装进背包容量为sum/2的背包。最后能够刚好装满
二维dp数组
- dp[i][j]的含义：对于前i个物品，背包容量为j的时候的最大价值为dp[i][j]
- 递推公式：dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-nums[i-1]] + nums[i]
- dp数组的初始化：[0][j]=0，就是当前0个物品放入背包的最大价值肯定是0；[i][0]=0，就是当背包容量为0的时候最大价值肯定也是0
- 遍历顺序：先遍历物品（从小到大），在遍历背包（从小大到）
- 打印dp数组：debug的时候使用
class Solution {public boolean canPartition(int[] nums) {int N = nums.length;int sum = 0;for(int i : nums){sum+=i;}// 和为奇数，不可能分割出来两个集合的元素相加相等if(sum % 2 == 1){return false;}int target = sum / 2;int[][] dp = new int[N+1][target+1];// 初始化dp数组for(int i = 0;i<=N;i++){dp[i][0] = 0;}// 背包容量需要大于等于第0个物品，所有从nums[0]开始for(int j = nums[0];j<=target;j++){dp[0][j] = 0;}// 填充dp数组for(int i = 1;i<=N;i++){for(int j = 1;j<=target;j++){// 如果当前剩余背包容量不够装下当前物品，则直接不放当前物品if(j < nums[i-1]){// 这里为什么是i-1，因为nums是从0开始的dp[i][j] = dp[i-1][j];}else{dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-nums[i-1]]+nums[i-1]);}}}return dp[N][target] == target;}
}
上面的中的初始化步骤可以省略，因为java的int数组默认值就是0，这里写出来只是为了体现初始化这个步骤而已
一维dp数组
- dp[j]的含义：当背包容量为j的时候，背包中的最大价值为dp[j]
- 递推公式：dp[j] = Math.max(dp[j],dp[j-nums[i]]+nums[i]
- dp数组的初始化：dp[0] = 0
- 遍历顺序：先遍历物品（从小大到），在遍历背包（从大到小）
- 打印dp数组：debug
class Solution {public boolean canPartition(int[] nums) {// 物品int N = nums.length;int sum = 0;for(int i : nums){sum+=i;}if(sum % 2 == 1){return false;}// 背包int target = sum / 2;int[] dp = new int[target+1];for(int i = 0;i<N;i++){for(int j = target;j>=nums[i];j--){dp[j] = Math.max(dp[j],dp[j-nums[i]]+nums[i]);}}return dp[target] == target;}
}
