线性代数笔记8--AX=b:可解性、解的结构

news/2024/4/24 17:41:50/文章来源:https://blog.csdn.net/bdn_nbd/article/details/136430232

1. 求解Ax=b

A X = b AX=b AX=b有解,则 b b b A A A的列向量之中。

举例
A X = b [ 1 2 2 2 2 4 6 8 3 6 8 10 ] [ x 1 x 2 x 3 x 4 ] = [ b 1 b 2 b 3 ] AX=b\\ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 2\\ 2 & 4 & 6 & 8\\ 3 & 6 & 8 & 10\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\x_2\\x_3\\x_4 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} b_1\\b_2\\b_3\\ \end{bmatrix} AX=b 1232462682810 x1x2x3x4 = b1b2b3

增广矩阵,将方程的解放在系数后面得到的矩阵。
A u = [ 1 2 2 2 b 1 2 4 6 8 b 2 3 6 8 10 b 3 ] A_{u}= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 2 & b_1\\ 2 & 4 & 6 & 8 & b_2\\ 3 & 6 & 8 & 10 & b_3\\ \end{bmatrix} Au= 1232462682810b1b2b3

  • 消元

A u = [ 1 2 2 2 b 1 2 4 6 8 b 2 3 6 8 10 b 3 ] ⟶ c 2 − 2 c 1 [ 1 2 2 2 b 1 0 0 2 4 b 2 − 2 b 1 3 6 8 10 b 3 ] ⟶ c 3 − 3 c 1 [ 1 2 2 2 b 1 0 0 2 4 b 2 − 2 b 1 0 0 2 4 b 3 − 3 b 1 ] ⟶ c 3 − c 2 [ 1 2 2 2 b 1 0 0 2 4 b 2 − 2 b 1 0 0 0 0 b 3 − b 2 − b 1 ] A_{u}= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 2 & b_1\\ 2 & 4 & 6 & 8 & b_2\\ 3 & 6 & 8 & 10 & b_3\\ \end{bmatrix} \stackrel{c_2-2c_1}\longrightarrow{} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 2 & b_1\\ 0 & 0 & 2 & 4 & b_2-2b_1\\ 3 & 6 & 8 & 10 & b_3\\ \end{bmatrix} \stackrel{c_3-3c_1}\longrightarrow{}\\ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 2 & b_1\\ 0 & 0 & 2 & 4 & b_2-2b_1\\ 0 & 0 & 2 & 4 & b_3-3b_1\\ \end{bmatrix} \stackrel{c_3-c_2}\longrightarrow{} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 2 & b_1\\ 0 & 0 & 2 & 4 & b_2-2b_1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & b_3-b_2-b_1\\ \end{bmatrix} Au= 1232462682810b1b2b3 c22c1 1032062282410b1b22b1b3 c33c1 100200222244b1b22b1b33b1 c3c2 100200220240b1b22b1b3b2b1

分类讨论

  1. 消元后当出现有一行只有最后一列非0,方程则不存在解
  2. 否则存在解

对于上面的例子: 需要满足 b 3 − b 2 − b 1 = 0 b_3-b_2-b_1=0 b3b2b1=0

假设
b = [ 1 5 6 ] b= \begin{bmatrix} 1\\5\\6 \end{bmatrix} b= 156

  • 求特解

假设所有自由列的取值均为0,求出一个特解。

A ′ = [ 1 2 2 2 1 0 0 2 4 3 0 0 0 0 0 ] A'= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 2 & 4 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix} A= 100200220240130

得到
x p = [ − 2 0 3 2 0 ] x_p= \begin{bmatrix} -2\\ 0\\ \frac{3}{2}\\ 0 \end{bmatrix} xp= 20230

  • A A A的零空间

求法在上一节中已经知道了。
[ 1 2 0 − 2 0 0 1 2 0 0 0 0 ] ⟶ [ 1 0 2 − 2 0 1 0 2 0 0 0 0 ] \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \stackrel{}\longrightarrow{} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} 100200010220 100010200220

A A A的零空间
N ( A ) = c [ − 2 1 0 0 ] + d [ 2 0 − 2 1 ] N(A)= c \begin{bmatrix} -2 \\1\\0\\0 \end{bmatrix} +d \begin{bmatrix} 2 \\0\\-2\\1 \end{bmatrix} N(A)=c 2100 +d 2021

  • 组合特解和 N ( A ) N(A) N(A)

a n s = X p + X N = [ − 2 0 3 2 0 ] + c [ − 2 1 0 0 ] + d [ 2 0 − 2 1 ] ans=X_p+X_N= \begin{bmatrix} -2\\ 0\\ \frac{3}{2}\\ 0 \end{bmatrix}+ c \begin{bmatrix} -2 \\1\\0\\0 \end{bmatrix} +d \begin{bmatrix} 2 \\0\\-2\\1 \end{bmatrix} ans=Xp+XN= 20230 +c 2100 +d 2021

为什么是这样?
A X p = b A X n = 0 A ( X p + X n ) = b AX_p=b\\ AX_n=0\\ A(X_p+X_n)=b AXp=bAXn=0A(Xp+Xn)=b

相当于在 R 4 R^4 R4的一个平面平移到了点 x p x_p xp上得到的一个新 R 2 R^2 R2平面。

2. 解的结构

分类讨论

对于大小为 m × n m \times n m×n的秩为 r r r矩阵 A A A , 方程组 A X = b AX=b AX=b解的情况会是怎样的?

r ≤ m , r ≤ n r\le m ,r\le n rm,rn

2.1 列满秩的情况

r = n < m r=n \lt m r=n<m

此时 N ( A ) = 0 N(A)=0 N(A)=0,可能有一个解或者没有解。

b b b不能满足 A A A行的线性组合。

举例
A = [ 1 3 2 1 6 1 5 1 ] A= \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1\\ 6 & 1\\ 5 & 1\\ \end{bmatrix} A= 12653111

2.2 行满秩的情况

r = m < n r=m \lt n r=m<n
矩阵还有 n − m n-m nm个自由元,方程有无穷多个解。

A = [ 1 2 6 5 3 1 1 1 ] A= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 6 & 5\\ 3 & 1 & 1 & 1\\ \end{bmatrix} A=[13216151]

2.3 行列满秩的情况

r = n = m r=n=m r=n=m

A = [ 1 3 2 4 ] A= \begin{bmatrix} 1 & 3\\ 2 &4 \end{bmatrix} A=[1234]

2.4 行列均不满秩

r < n , r < m r \lt n,r \lt m r<n,r<m

R = [ I F 0 0 ] R= \begin{bmatrix} I & F\\ 0 & 0 \end{bmatrix} R=[I0F0]

0 0 0个或 ∞ \infty

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