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函数极限的定义：

 数列的极限和函数极限

定理1：

自变量趋向有限制时，函数的极限

 左右极限：

定理：

需要分左右极限求极限的三种问题：

 例题：

 例2：

 极限性质：

保号性：

 函数的保号性

例题：

 极限值与无穷小值

 夹逼准则：

 单调有界准则：

 例题：

例题：

 ​编辑

 例题：

 无穷小量：

 无穷小的性质：

 无穷大量：

 无穷大量的比较

 对于数列的无穷大：

 无穷大量的定理：

 无穷大量与无界变量的关系：

无穷大量与无穷小量之间的关系：

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函数极限的定义：

 最浅显的理解就是当自变量x趋向于正无穷时，我们的函数值无限接近于A。

如图所示，当x无限增大时，f(x)的图像无限接近于直线y=A 。

如何理解这部分呢？

 答：

理解：

 

 这里的理解：

总体的理解，一句话。

 

几何理解：

 数列的极限和函数极限

这是我们上节课学习的数列的极限，数列的极限其实就是一个正标函数：

 

与其他函数的不同点在于正标函数的自变量只能够取正整数。

 那么数列的极限和函数的极限之间的关系是怎样的呢？

 我们的函数的极限可以推出数列的极限，但是数列的极限无法推出函数的极限。

原因是我们的函数的自变量可以是任意的实数，而我们的数列的自变量只能是正整数。

由一般的可以推出特殊，但是由特殊推不出一般。

例如：

 对于f(x)，我们的自变量x可以为任意实数，所以我们的f(x)是在[-1,1]之间波动的，所以f(x)没有极限，因为f(n)的自变量为正整数，所以f(n)始终等于0，所以数列f(n)的极限值为0.

所以当我们想要求出数列的极限时，因为函数的极限可以推导出数列的极限，所以我们可以把数列的极限转换为函数的极限求。

意义是什么呢？

假如我们想要使用洛必达法则求极限，我们首先要要求数列是可导的，但是数列的自变量是只有正整数，所以数列不能使用洛必达法则，所以我们可以把数列转换为函数，调用洛必达法则求极限。

 

 

 不再赘述。

 反之不成立，我们需要保证两个单侧的极限值相等,才成立。

定理1：

 例题：

极限值是多少？

 

 对于数列的极限呢？

自变量趋向有限制时，函数的极限

 我们对定义进行理解：

 

 

 我们对这里进行理解：

 一句话理解：

几何意义：

 

 

 所以x不等于x0，但是x不能等于x0

如图像所示，x趋近于x0，但是x不能等于x0，f(x)趋近于A，f(x)可以等于A。

 

 举例：

 这个函数在x=0时是没有定义的，所以f(0)和极限是没有任何关系的。

我们再举一个例子：

这个极限值是多少？

答： 

 

这样写对吗?

 这种写法是错误的。

 所以极限是不存在的。

所以，许多教材写的这些的定理也是错误的。

三角和方框代表的是函数，所以我们是要把这些函数当作自变量来求极限，所以我们要保证这些函数的函数值在自变量趋于0时不等于0，否则就是极限不存在。

 所以我们要保证三角或者方框趋近于0且不等于0.

第二种理解方法：

 左右极限：

 我们画一个简图帮助理解：

定理：

 当极限存在并且等于A时可以推出左右极限都存在并且等于A，反之也成立。

需要分左右极限求极限的三种问题：

 第一种见的很多，不需要赘述。

 例如：

许多人直接说极限是无穷大，是错误的，我们要分情况进行讨论。

 

 例如：

 

 

例如：

 我们画出arctanx的图像：

  

 例如：

 

 例题：

 

 例2：

 

 极限性质：

 数列收敛就是数列有极限的意思，当数列收敛时，数列一定有界。

反之成立吗，我们举一个反例：

我们的数列是有界的，但是我们的数列是在-1和1之间来回跳转的，所以我们的数列是没有极限。

证明：有界数列不一定收敛。

 为什么收敛数列必有界？

答：

 

 那么对于函数来说，有这些性质吗？

 

这就是局部有界的意思。

 反之成立吗？

不成立，我们举出反例。

所以，收敛函数可以推出函数在某去心领域内有界，反之不成立。

保号性：

我们进行说明：

 

参考上面的证明。

我们能不能把定理这样修改：

 不能，我们对定理1举反例：

我们对定理2举反例：

 函数的保号性

如果极限值A>0，那么存在一个去心领域，在去心领域内部，f(x)始终大于0.

如果存在一个去心领域，在去心领域内部f(x)大于等于0，那么极限值A大于等于0.

例题：

 

 

 极限值与无穷小值

f(x)的极限为A时的充分必要条件是f(x)=极限值加一个无穷小值。

 我们进行证明：

 

 夹逼准则：

 我们把数列极限的定义和夹逼准则放在一起：

 我们进行画图解释：

 单调有界准则：

 单调有界数列必定有极限，有界的意思是既有上界又有下界，并且上界和下界的值相等，数列还是单调的，所以数列一定有极限。

因为我们的第一项就是下界，所以上界下界都控制了，所有就有极限。

第二个不再赘述。

 例题：

 结果对吗？

例题：

 

 

 例题：

 

 第二种解法：

 无穷小量：

 

 无穷小之间的比较比较的是趋近于0的速度，

 

表示a(x)趋近于0的速度大于B(x)

表示a(x)是B(x)的高阶无穷小。

 

 无穷小的性质：

 无限个无穷小的和还是不是无穷小呢？

答：无限个无穷小的和不一定是无穷小，例如：

 

那么这道题目呢？

 

第一种解法： 

 

 

这种写法是标准的错误，错误原因在这里：

 

 最正确的写法：

 无穷大量：

 

 趋向于无穷包括正无穷和负无穷。

对无穷大量的数学理解：

 

M是任意值，而函数值的绝对值比任意值都大，那么函数值就是正无穷或者负无穷，这个是结论。

 

 

 

 

 无穷大量的比较

 后面的比前面的趋向于无穷大的速度更快。

后面一个闭上前面一个的极限是无穷大。

前面一个闭上后面一个的极限是无穷小。

例如：

 对于数列的无穷大：

 例题：

 

 无穷大量的定理：

 

 

 无穷大*有界的结果是无穷大吗？

对于数列，第一个是有界，第二个是无穷大，但是相乘的极限值为1.

 无穷大量与无界变量的关系：

无穷大量是存在一个N，在N之后的所有项对应的Xn都为无穷大。

误解变量是存在一项，使Xn为无穷大。

 无穷大量是都很大，而无界变量是有很大。

所以由一般可以推导出特殊，而由特殊无法推导到一般。

 举一个例子：

 这是一个无界变量，但是无法推导出他是无穷大量。

 例题：

 上面的一段的极限为无穷，而下面一段的极限是0，所以Xn是无界变量。

无穷大量与无穷小量之间的关系：