字符串分割

• 问题描述

给定一个字符串和一个词典dict，确定s是否可以根据词典中的词分成
一个或多个单词。
比如，给定
s = “leetcode”
dict = [“leet”, “code”]
返回true，因为"leetcode"可以被分成"leet code"

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(说明一下，F{i)中的i是指字符串的前i个字符，和str[i]不同，这里的i是数组下标，所以str[0, i]是指字符串的前i + 1个字符）

首先确定状态，F(i)表示字符串的前i个字符能否被分割，用true和false表示。现在要确定的是如何推导F(i)？假设字符串为str，我们要确定str的前i个字符是否可以分割，分解子问题，用j分解字符串，确定str[0, j - 1]与str[j, i - 1]是否可以分割，它们可以分割str就可以分割。因为str[0, j - 1]是字符串的前j个字符，我们可以通过F(j)获取其能否被分割（j肯定比i小，F(j)的状态肯定已经更新过了），至于[j, i - 1]区间的字符，就要遍历字典，查找str[j, i - 1]是否在字典中。如果两者的结果都是true，那么str的前i个字符就是可以分割的。

既然F(i)表示的是字符串的前i个字符能否被分割，那么F(0)是什么？我们将其设置为true，字符串的前0个字符是不存在的，但是我们需要F(0)作为初始状态进行递推。假设字符串的长度为size，那么最后只要返回字符串的前size个字符能否被分割，即F(size)就可以了

bool wordBreak(string s, unordered_set<string> &dict) {vector<bool> can_break(s.size() + 1, false);can_break[0] = true;// 从第1个字符开始到最后一个字符结束，确定状态for (size_t i = 1; i <= s.size(); ++i){// 从j分割字符串，j表示字符串的第j个字符，不是数组下标for (size_t j = 0; j <= i; ++j){// 前j个字符可以分割，并且j + 1到i的字符也可以分割if (can_break[j] && dict.count(s.substr(j, i - j))){can_break[i] = true;break;}}}//  返回数组的最后一个位置return can_break[s.size()];
}

其中，在字典中查找会用到count接口，获取字符串的子串会用到substr接口，这些接口可以在这里查询

三角矩阵

• 问题描述

给定一个三角矩阵，找出自顶向下的最短路径和，每一步可以移动到下一行的相邻数字。

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题目会给定一个二维数组，用二维数组表示一个三角形。首先确定状态，F(i, j)表示从顶点开始到i行j列的点的最短路径，求出从顶点到最后一行所有点的最短路径，在其中选择一个最小的，就是自顶向下的最短路径和。现在要确定的是如何推导F(i, j)？题目说每一步可以移动到下一行的相邻数字，也就是可以从dp[i - 1, j -1]或者dp[i - 1, j]移动到dp[i, j]，从这两条路径中选择较小的那条，即F(i, j) = min(F(i - 1, j - 1), F(i - 1, j)) + triangle[i][j]。比如要到达5，可以从3到5，也可以从4到5，我们要从这两条路径中找出较小的那条（在dp数组中查找），然后再加上自己的值，就是从顶点到5的最短路径。更新完dp数组，在数组的最后一行查找得到的最小值就是最后的答案

但是数组的初始状态需要格外注意，首先是顶点到顶点的最短路径就是自己，所以dp[0][0]为0。其次是三角矩阵的左边界和右边界，比如要达到4，只能从6走，达到4的路径只有一条，顶点2->3->6->4，同理边界上所有的点都是这样，此时我们的状态转移方式对这些点不再适用，我们需要单独处理这些点，它们的最短路径就是从顶点不断的累加到自己。

int minimumTotal(vector<vector<int> > &triangle) {size_t row = triangle.size();// 数组初始化for (size_t i = 1; i < row; ++i){triangle[i][0] += triangle[i - 1][0];triangle[i][triangle[i].size() - 1] += triangle[i - 1][triangle[i - 1].size() - 1];}// 更新数组for (size_t i = 1; i < row; ++i){for (size_t j = 1; j < triangle[i].size() - 1; ++j){triangle[i][j] += min(triangle[i - 1][j - 1], triangle[i - 1][j]);}}// 查找最小路径int ret = triangle[row - 1][0];for (size_t i = 0; i < triangle[row - 1].size(); ++i){ret = min(ret, triangle[row - 1][i]);}return ret;
}

写这道题时，最难的地方不是转移方程的推导，而是数组边界的确定，左右边界的更新，i，j作为数组下标具体的范围在哪？这些都要仔细考虑。

除了自顶向下的更新数组，我们还可以自底向上更新，用F(i, j)表示i行j列的点到底边的最短路径，不再是从顶点到i行j列的点的最短路径了。要更新F(i, j)就要考虑F(i + 1, j)与F(i + 1, j + 1)，因为i行j列的点到底边只经过了这两个点，所以状态转移方程F(i, j) = min(F(i + 1, j), F(i + 1, j + 1)) + triangle(i, j)，并且每一次对i行的更新都要用到i + 1行的数据（转移方程的右边都是i + 1），所以我们需要自底向上开始更新，使i + 1行的数据满足我们设定的状态，再更新i行的数据。

那么初始状态是怎样的？因为最后一行到底边的最短距离就是自己本身，所以最后一行的状态已经确定好了，我们从倒数第二行开始更新数组，并且左右边界也不需要特地更新，因为这些点已经满足了我们的状态转移方程。最后我们只要返回F(0, 0)即可，F(0, 0)为从顶点到底边的最短距离

int minimumTotal(vector<vector<int> > &triangle) {for (int i = triangle.size() - 2; i >= 0; --i){for (int j = 0; j < triangle[i].size(); ++j){triangle[i][j] += min(triangle[i + 1][j], triangle[i + 1][j + 1]);}}return triangle[0][0];
}

很显然，这样的解法更简单

路径总数

• 问题描述

在一个m*n的网格的左上角有一个机器人，机器人在任何时候只能向下或者向右移动，机器人试图到达网格的右下角，有多少可能的路径。

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同样的，先确定题目的状态F(i, j)，F(i, j)表示从左上角到i行j列的点的总路径数。那么F(i, j)要怎么推导呢？从题目中我们得知，机器人只能向下或者向右移动，也就是说要走到[i, j]，必须要经过[i - 1, j]或者[i, j - 1]，所以F(i, j) = F(i - 1, j) + F(i, j - 1)，到[i, j]的路径数等于[i - 1, j]加上[i, j - 1]的路径总和。状态转移方程确定了，现在要确定的就是题目的初始条件，用来更新的dp数组中，由于第一行和第一列的所有点不满足该状态转移方程，所以我们应该先处理这些点，从左上角到这些点的路径只有一条，要么直接向右走，要么直接向下走，所以dp数组的第一行和第一列被初始化为1。最后返回F(m, n)就行了

int uniquePaths(int m, int n) {vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n));// dp数组的初始化    for (size_t i = 0; i < m; ++i){dp[i][0] = 1;}for (size_t i = 0; i < n; ++i){dp[0][i] = 1;}// dp数组的更新for (size_t i = 1; i < m; ++i){for (size_t j = 1; j < n; ++j) {dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];}}return dp[m - 1][n - 1];
}

最小路径和

• 问题描述

给定一个m*n的网格，网格用非负数填充，找到一条从左上角到右下角的最短路径（只能向下或者向右移动）。

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和路径总数那题类似，先确定状态，F(i, j)表示从左上角到第i行j列的最小路径和，当i和j指向右下角时，F(i, j)就是从左上角到右下角的最短路径。现在要确定的是状态转移方程，F(i, j) = min(F(i - 1, j), F(i, j - 1)) + array[i, j]：从唯二到达[i, j]的路径中，选择一条更小的，并加上到[i, j]的值。然后就是确定初始状态，第一行与第一列的点只有一种方向可以到达，直接向右或者直接向下走就行，所以在更新dp数组前先更新这些点

int minPathSum(vector<vector<int> >& grid) {size_t row = grid.size();size_t col = grid[0].size();// dp数组的初始化for (size_t i = 1; i < row; ++i){grid[i][0] += grid[i - 1][0];}for (size_t i = 1; i < col; ++i){grid[0][i] += grid[0][i - 1];}// dp数组的更新for (size_t i = 1; i < row; ++i){for (size_t j = 1; j < col; ++j){grid[i][j] += min(grid[i - 1][j], grid[i][j - 1]);}}return grid[row - 1][col - 1];
}