二分图

1. 概述：
   二分图又称作二部图，是图论中的一种特殊模型。 设G=(V,E)是一个无向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的子集(A,B)，并且图中的每条边（i，j）所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A,j in B)，则称图G为一个二分图。简而言之，就是顶点集V可分割为两个互不相交的子集，并且图中每条边依附的两个顶点都分属于这两个互不相交的子集，两个子集内的顶点不相邻。
2. 定理：
   无向图G为二分图的充分必要条件是，G至少有两个顶点，且其所有回路的长度均为偶数。

染色法

应用：判断一个图是否是二分图

1. 算法思路

   我们规定1或2代表一个点属于两个集合。

   • 首先我们任选一个点染色成1，把和它相连的所有点染色成2。
   • 然后再把所有和染色成2的点相邻的点染色成1
   • 在每一次染色点时首先要判断一下这个点是否被染色过，如果被染色过并且和上一个点颜色相同，则代表染色失败，该图不是二分图。
     例题
     给定一个 n 个点 m 条边的无向图，图中可能存在重边和自环。

请你判断这个图是否是二分图。

输入格式
第一行包含两个整数 n 和 m。

接下来 m 行，每行包含两个整数 u 和 v，表示点 u 和点 v 之间存在一条边。

输出格式
如果给定图是二分图，则输出 Yes，否则输出 No。

数据范围
1≤n,m≤10^5
输入样例：
4 4
1 3
1 4
2 3
2 4
输出样例：
Yes

N = 100010
h = [-1] * N
e = [-1] * N
ne = [-1] * N
idx = 0
color = [0] * Ndef add(a, b) :global idxe[idx] = bne[idx] = h[a]h[a] = idxidx += 1
def dfs(u, c) :color[u] = ci = h[u]while i != -1 :j = e[i]if not color[j] :if not dfs(j, 3 - color[u]) :return Falseelse :if color[j] == color[u] :return Falsei = ne[i]return Truen, m = map(int, input().split())for i in range(m) :a, b = map(int, input().split())add(a, b)add(b, a)
flag = True
for i in range(1, n + 1) :if not color[i] :if not dfs(i, 1) :flag = Falsebreak
if flag :print("Yes")
else :print("No")

匈牙利算法

应用：二分图的最大匹配数

1. 百度百科：匈牙利算法是一种在多项式时间内求解任务分配问题的组合优化算法，并推动了后来的原始对偶方法。

2. 简介：
   设G = (V, E) 是一个无向图。如顶点集V可分割为两个互不相交的子集 V1,V2，选择这样的子集中边数最大的子集称为图的最大匹配问题（maximal matching problem)。

   如果一个匹配中|V1| <= |V2|， |M| == |V1|且匹配数 ，则称此匹配为完全匹配，也称作完备匹配。特别的当|V1| == |V2| 时称为完美匹配

3. 算法概述：

   • 增广路的定义（也称增广轨或交错轨）：
     若P是图G中一条连通两个未匹配顶点的路径，并且属于M的边和不属于M的边（即已匹配和待匹配的边)在P上交替出现，则称P为相对于M的一条增广路径。
   • 匈牙利算法寻找最大匹配，就是通过不断寻找原有匹配M的增广路径，因为找到一条M匹配的增广路径，就意味着一个更大的匹配M’ , 其恰好比M 多一条边。

例题

给定一个二分图，其中左半部包含 n1 个点（编号 1∼n1），右半部包含 n2 个点（编号 1∼n2），二分图共包含 m 条边。

数据保证任意一条边的两个端点都不可能在同一部分中。

请你求出二分图的最大匹配数。

二分图的匹配：给定一个二分图 G，在 G 的一个子图 M 中，M 的边集 {E} 中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称 M 是一个匹配。

二分图的最大匹配：所有匹配中包含边数最多的一组匹配被称为二分图的最大匹配，其边数即为最大匹配数。

输入格式
第一行包含三个整数 n1、 n2 和 m。

接下来 m 行，每行包含两个整数 u 和 v，表示左半部点集中的点 u 和右半部点集中的点 v 之间存在一条边。

输出格式
输出一个整数，表示二分图的最大匹配数。

数据范围
1≤n1,n2≤500,
1≤u≤n1,
1≤v≤n2,
1≤m≤105
输入样例：
2 2 4
1 1
1 2
2 1
2 2
输出样例：
2

N = 510
M = 100010
h = [-1] * N
e = [-1] * M
ne = [-1] * M
idx = 0
matchs = [0] * N
st = [False] * Ndef add(a, b) :global idxe[idx] = bne[idx] = h[a]h[a] = idxidx += 1def find(x) :i = h[x]while i != -1 :j = e[i]if not st[j] :st[j] = Trueif matchs[j] == 0 or find(matchs[j]) :matchs[j] = xreturn Truei = ne[i]return False
n1, n2, m = map(int, input().split())
for i in range(m) :u, v = map(int, input().split())add(u, v)
res = 0
for i in range(1, n1 + 1) :st = [False] * Nif find(i) :res += 1
print(res)

总结

为期三周的图论暂告一段路~勤加练习！！！