2D坐标系下的点的转换矩阵（平移、缩放、旋转、错切）

news/2024/5/20 17:38:04/文章来源:https://blog.csdn.net/wsp_1138886114/article/details/131888684

文章目录

- - - 1. 平移（Translation）
    - 2. 缩放（Scaling）
    - 3. 旋转（Rotation）
    - 4. 错切（Shearing）
    - 5. 镜像（Reflection）

1. 平移（Translation）

在2D空间中，我们经常需要将一个点平移到另一个位置。假设空间中的一点 $P (x, y)$ ；将其向 $x, y$ 方向分别平移 $t_x$ ， $t_y$ , 假设平移后点的坐标为 $(x^{'}, y^{'})$ ,则上述点的平移操作可以归纳为如下公式：
$\begin{alignat}{2} &x'=x + t_x\\ &y'=x + t_y \end{alignat}$
使用齐次矩阵表示如下：
$\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & b & t_x \\ 0 & 1 & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix}$

import numpy as npdef translation():"""原始数组a 三个点(1,1) (4,4) (7,7)构建齐次矩阵 P构建变换矩阵 T"""a = np.array([[1, 1],[4, 4],[7, 7]])P = np.array([a[:, 0],a[:, 1],np.ones(len(a))])T = np.array([[1, 0, 2],[0, 1, 2],[0, 0, 1]])return np.dot(T, P)print(translation())"""
[[3. 6. 9.][3. 6. 9.][1. 1. 1.]]
"""

动画效果演示

import matplotlib
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as npX, Y = np.mgrid[0:1:5j, 0:1:5j]
x, y = X.ravel(), Y.ravel()def trans_translate(x, y, tx, ty):T = [[1, 0, tx],[0, 1, ty],[0, 0, 1]]T = np.array(T)P = np.array([x, y, [1] * x.size])return np.dot(T, P)fig, ax = plt.subplots(1, 4)
T_ = [[0, 0], [2.3, 0], [0, 1.7], [2, 2]]
for i in range(4):tx, ty = T_[i]x_, y_, _ = trans_translate(x, y, tx, ty)ax[i].scatter(x_, y_)ax[i].set_title(r'$t_x={0:.2f}$ , $t_y={1:.2f}$'.format(tx, ty))ax[i].set_xlim([-0.5, 4])ax[i].set_ylim([-0.5, 4])ax[i].grid(alpha=0.5)ax[i].axhline(y=0, color='k')ax[i].axvline(x=0, color='k')
plt.show()

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2. 缩放（Scaling）

在2D空间中，点 $(x, y)$ 相对于另一点 $p_x,p_y)$ 进行缩放操作，我们不妨缩放因子在 $x ， y$ 方向分别为： $s_x, s_y$ , 则上述的缩放操作可以归纳为如下公式：
$\begin{alignat}{2} &x'=s_x(x-p_x) + p_x &=s_xx + p_x(1-s_x)\\ &y'=s_y(y-p_y) + p_y &=s_yy + p_y(1-s_y) \end{alignat}$
使用齐次矩阵表示如下：
$\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} s_x& 0 & p_x(1-s_x) \\ 0 & s_y& p_y(1-s_y)\\ 0 & 0& 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix}$

def trans_scale(x, y, px, py, sx, sy):T = [[sx, 0 , px*(1 - sx)],[0 , sy, py*(1 - sy)],[0 , 0 , 1          ]]T = np.array(T)P = np.array([x, y, [1]*x.size])return np.dot(T, P)fig, ax = plt.subplots(1, 4)
S_ = [[1, 1], [1.8, 1], [1, 1.7], [2, 2]]
P_ = [[0, 0], [0, 0], [0.45, 0.45], [1.1, 1.1]]
for i in range(4):sx, sy = S_[i]; px, py = P_[i]x_, y_, _ = trans_scale(x, y, px, py, sx, sy)ax[i].scatter(x_, y_)ax[i].scatter(px, py)ax[i].set_title(r'$p_x={0:.2f}$ , $p_y={1:.2f}$'.format(px, py) + '\n'r'$s_x={0:.2f}$ , $s_y={1:.2f}$'.format(sx, sy))ax[i].set_xlim([-2, 2])ax[i].set_ylim([-2, 2])ax[i].grid(alpha=0.5)ax[i].axhline(y=0, color='k')ax[i].axvline(x=0, color='k')plt.show()

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3. 旋转（Rotation）

在2D空间中，对点 $(x, y)$ 相对于另一点 $p_x,p_y)$ 进行旋转操作，一般来说逆时针为正，顺时针为负，假设旋转角度为 $\beta$ , 则上述点 $x, y$ 相对于点 $p_x,p_y$ 的旋转角度 $\beta$ 的操作使用齐次矩阵表示如下：
$\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \beta& -\sin \beta & p_x(1-\cos \beta) + p_y \sin \beta \\ \sin \beta & \cos \beta& p_y(1-\cos \beta) + p_x \sin \beta \\ 0 & 0& 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix}$

def trans_rotate(x, y, px, py, beta):beta = np.deg2rad(beta)T = [[np.cos(beta), -np.sin(beta), px*(1 - np.cos(beta)) + py*np.sin(beta)],[np.sin(beta),  np.cos(beta), py*(1 - np.cos(beta)) - px*np.sin(beta)],[0           ,  0           , 1                                      ]]T = np.array(T)P = np.array([x, y, [1]*x.size])return np.dot(T, P)fig, ax = plt.subplots(1, 4)R_ = [0, 225, 40, -10]
P_ = [[0, 0], [0, 0], [0.5, -0.5], [1.1, 1.1]]for i in range(4):beta = R_[i]; px, py = P_[i]x_, y_, _ = trans_rotate(x, y, px, py, beta)ax[i].scatter(x_, y_)ax[i].scatter(px, py)ax[i].set_title(r'$\beta={0}°$ , $p_x={1:.2f}$ , $p_y={2:.2f}$'.format(beta, px, py))ax[i].set_xlim([-2, 2])ax[i].set_ylim([-2, 2])ax[i].grid(alpha=0.5)ax[i].axhline(y=0, color='k')ax[i].axvline(x=0, color='k')plt.show（）

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4. 错切（Shearing）

在2D空间中，对点 $(x, y)$ 相对于另一点 $p_x,p_y)$ 进行错切操作，错切一般用于弹性物体的变形处理。假设沿x 方向与y方向错切参数分别为 $\lambda _x，\lambda _y$ , 则的错切操作可以归纳使用齐次矩阵表示如下：

$\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1& \lambda _x & -\lambda _x p_x \\ \lambda _y & 1& -\lambda _y p_y \\ 0 & 0& 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix}$

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as npX, Y = np.mgrid[0:1:5j, 0:1:5j]
x, y = X.ravel(), Y.ravel()def trans_shear(x, y, px, py, lambdax, lambday):T = [[1      , lambdax, -lambdax*px],[lambday, 1      , -lambday*py],[0      , 0      ,  1         ]]T = np.array(T)P = np.array([x, y, [1]*x.size])return np.dot(T, P)fig, ax = plt.subplots(1, 4)L_ = [[0, 0], [2, 0], [0, -2], [-2, -2]]
P_ = [[0, 0], [0, 0], [0, 1.5], [1.1, 1.1]]for i in range(4):lambdax, lambday = L_[i]; px, py = P_[i]x_, y_, _ = trans_shear(x, y, px, py, lambdax, lambday)ax[i].scatter(x_, y_)ax[i].scatter(px, py)ax[i].set_title(r'$p_x={0:.2f}$ , $p_y={1:.2f}$'.format(px, py) + '\n'r'$\lambda_x={0:.2f}$ , $\lambda_y={1:.2f}$'.format(lambdax, lambday))ax[i].set_xlim([-3, 3])ax[i].set_ylim([-3, 3])ax[i].grid(alpha=0.5)ax[i].axhline(y=0, color='k')ax[i].axvline(x=0, color='k')plt.show()

在这里插入图片描述

5. 镜像（Reflection）

对于镜像，对称轴的法向量 $v(v_x,v_y)$ , 镜像矩阵 $T_{m}$ 表示为：
$\left[ \begin{array}{ccc} 1-2 x_{v}{ }^{2} & -2 x_{v} y_{v} & 0 \\ -2 x_{v} y_{v} & 1-2 y_{v}{ }^{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right]$
另外就是需要一个表示对称轴位置的点(对称轴2点中任意一点)，表示为 $M\left(x_{\mathrm{m}}, y_{m}\right)$ ，变换矩阵 $H = T_{t}*T_{m}*T_{t}^{-1}$ ，即：
$\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ x_{\mathrm{m}} & y_{m} & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{ccc} 1-2 x_{v}{ }^{2} & -2 x_{v} y_{v} & 0 \\ -2 x_{v} y_{v} & 1-2 y_{v}{ }^{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -x_{\mathrm{m}} & -y_{m} & 1 \end{array} \right]$
镜像后的坐标即为 $T_{o}*T_{t}*T_{m}*T_{t}^{-1}$ 。

沿 X 轴镜像的镜像矩阵：
$\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{array} \right]$
沿 Y 轴镜像的镜像矩阵：
$\left[ \begin{array}{ccc} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} \right]$

import numpy as npa = np.array([[1, 2],[2, 2],[3, 5],[4, 6]])
a = np.array([a[:,0], a[:,1], np.ones(len(a))])
print("\n",a)
print("--------------------------------")T_x = np.array( [[ 1,  0,  0],[ 0, -1,  0],[ 1,  0,  1]])
print("\n",np.dot(T_x, a))
print("=================================")
T_y = np.array( [[-1,  0,  0],[ 0,  1,  0],[ 0,  1,  1]])
print("\n",np.dot(T_y, a))