凸优化问题：

对于最优化问题P： min f(x1, x2 , …,xn)
s.t. : gi ( x1 , x2 , … , xn) <= 0 , i = 1 , … , m
hi ( x1 , x2 , … , xn) = 0 ,i = 1 , … , l

1 . 记可行域为S = { x ∈ Rn | gi(x)<=0 , i=1,…,m , hi(x)=0 , i = 1 , … , l.}

2.当f(x) , gi(x) , i=1,…,m 是凸函数 ， hi(x)，i=1,…,l 是线性函数 ， 问题（P）称为凸优化问题。

也就是说 ， 当最优化问题中，目标函数和不等式约束都是凸函数，等式约束是线性函数时，我们称这个最优化问题为凸优化问题。

为什么要区分凸优化问题和非凸优化问题？

这是因为，凸优化问题中，局部最优解即为全局最优解。

凸优化问题的最优性条件：

几何意义很容易理解 ， 等值线上，增大的方向是梯度方向。减小的方向是负梯度方向，最优解处 ， 负梯度方向和可行域内任意一个点的向量夹角都是钝角，所以<=0 ， 那消去负号就是大于等于零。

特殊凸问题的最优性条件：

常见的凸优化问题：

线性规划：
标准形式：
min cTx ，
s.t. Ax = b ， x > 0

以下几类问题可转化为线性规划：
1.分式线性规划：

min （cTx + d) / (eTx + f) ,
s.t. Ax = b , Dx <= h
其中 ， eTx + f > 0

2.最小化绝对值函数：

min { | aTx + c| , s.t. Ax = b}