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度的数量

题目描述：

求给定区间 $[X,Y]$ 中满足下列条件的整数个数：这个数恰好等于 $K$ 个互不相等的 $B$ 的整数次幂之和。

例如，设 $X=15,Y=20,K=2,B=2$，则有且仅有下列三个数满足题意：

$17=2^4+2^0$

$18=2^4+2^1$

$20=2^4+2^2$

输入格式：

第一行包含两个整数 $X$ 和 $Y$，接下来两行包含整数 $K$ 和 $B$。

输出格式：

只包含一个整数，表示满足条件的数的个数。

数据范围：

$1\le X\le Y\le 2^{31}-1,1\le K\le 20,2\le B\le 10$

输入样例：

15 20
2
2

输出样例：

3

思路

利用前缀和的思想求解对应区间符合形式的数的个数。

$[l,r]\iff [0,r]-[0,l-1]$

要使这个数恰好等于 $K$ 个互不相等的 $B$ 的整数次幂之和，即化为 $B$ 进制之后，存在 $K$ 个 $1$，除 $1$ 和 $0$ 之外的数均不可出现。

例如：$B=3$，$K=2$，一个符合的数是 $12$，把 $12$ 化为三进制 110 ，其中有 $2$ 个 $1$，其余都是 $0$。

代码实现

暴力解法

import sys
input = sys.stdin.readlinex, y = map(int, input().strip().split())
k, b = int(input().strip()), int(input().strip())def dfs(cnt, idx, total, up):if total > up:return 0if cnt == k:return 1if pow(b, idx) > up:return 0return dfs(cnt, idx + 1, total, up) + dfs(cnt + 1, idx + 1, total + pow(b, idx), up)print(dfs(0, 0, 0, y) - dfs(0, 0, 0, x - 1))

数位DP

import sys
from functools import cache
sys.setrecursionlimit(1000000)
input = sys.stdin.readlinex, y = map(int, input().strip().split())
k, b = int(input().strip()), int(input().strip())def int_to_base_b(n):if n == 0:return "0"res = ""while n:res = str(n % b) + resn //= breturn res@cache
def dfs(idx, cnt, is_limit, is_num, s):if len(s) == idx:return int(cnt == k and is_num)if cnt > k:return 0res = 0if not is_num:res = dfs(idx + 1, cnt, False, False, s)up = min(1, int(s[idx])) if is_limit else 1for d in range(1 - int(is_num), up + 1):res += dfs(idx + 1, cnt + d, is_limit and d == int(s[idx]), True, s)return resprint(dfs(0, 0, True, False, int_to_base_b(y)) - dfs(0, 0, True, False, int_to_base_b(x - 1)))

数字游戏

题目描述：

科协里最近很流行数字游戏。

某人命名了一种不降数，这种数字必须满足从左到右各位数字呈非下降关系，如 $123$，$446$。

现在大家决定玩一个游戏，指定一个整数闭区间 [a,b]，问这个区间内有多少个不降数。

输入格式：

输入包含多组测试数据。

每组数据占一行，包含两个整数 $a$ 和 $b$。

输出格式：

每行给出一组测试数据的答案，即 $[a,b]$ 之间有多少不降数。

数据范围：

$1\le a\le b\le 2^{3}1-1$

输入样例：

1 9
1 19

输出样例：

9
18

代码实现

import sys
from functools import lru_cache
sys.setrecursionlimit(1000000)
input = sys.stdin.readline@lru_cache(maxsize=None, typed=False)
def dfs(idx, front, is_limit, is_num, s):if idx == len(s):return int(is_num)res = 0if not is_num:res = dfs(idx + 1, 0, False, False, s)up = int(s[idx]) if is_limit else 9for d in range(max(1 - int(is_num), front), up + 1):res += dfs(idx + 1, d, is_limit and d == up, True, s)return restry:while True:a, b = map(int, input().strip().split())print(dfs(0, 0, True, False, str(b)) - dfs(0, 0, True, False, str(a - 1)))except ValueError:sys.exit(0)

Windy数

题目描述：

$Windy$ 定义了一种 $Windy$ 数：不含前导零且相邻两个数字之差至少为 $2$ 的正整数被称为 $Windy$ 数。

$Windy$ 想知道，在 $A$ 和 $B$ 之间，包括 $A$ 和 $B$，总共有多少个 $Windy$ 数？

输入格式：

共一行，包含两个整数 $A$ 和 $B$。

输出格式：

输出一个整数，表示答案。

数据范围：

$1\le A\le B\le 2\times 10^9$

输入样例1：

1 10

输出样例1：

9

输入样例2：

25 50

输出样例2：

20

代码实现

import sys
from functools import lru_cache
sys.setrecursionlimit(1000000)
input = sys.stdin.readline@lru_cache(maxsize=None, typed=False)
def dfs(idx, front, is_limit, is_num, s):if idx == len(s):return int(is_num)res = 0if not is_num:res = dfs(idx + 1, front, False, False, s)up = int(s[idx]) if is_limit else 9for d in range(1 - int(is_num), up + 1):if is_num and abs(front - d) < 2:continueres += dfs(idx + 1, d, is_limit and d == up, True, s)return resa, b = map(int, input().strip().split())
print(dfs(0, 0, True, False, str(b)) - dfs(0, 0, True, False, str(a - 1)))

数字游戏 II

题目描述：

由于科协里最近真的很流行数字游戏。

某人又命名了一种取模数，这种数字必须满足各位数字之和 $\mathrm{mod}N$ 为 $0$。

现在大家又要玩游戏了，指定一个整数闭区间 $[a,b]$，问这个区间内有多少个取模数。

输入格式：

输入包含多组测试数据，每组数据占一行。

每组数据包含三个整数 $a,b,N$。

输出格式：

对于每个测试数据输出一行结果，表示区间内各位数字和 $\mathrm{mod}N$ 为 $0$ 的数的个数。

数据范围：

$1\le a,b\le 2^{31}-1,1\le N<100$

输入样例：

1 19 9

输出样例：

2

代码实现

import sys
from functools import lru_cache
sys.setrecursionlimit(1000000)
input = sys.stdin.readlinea, b, N = map(int, input().strip().split())@lru_cache(maxsize=None, typed=False)
def dfs(idx, total, is_limit, is_num, s):if len(s) == idx:return int(is_num and total % N == 0)res = 0if not is_num:res = dfs(idx + 1, total, False, False, s)up = int(s[idx]) if is_limit else 9for d in range(1 - int(is_num), up + 1):res += dfs(idx + 1, (total + d) % N, is_limit and d == up, True, s)return resprint(dfs(0, 0, True, False, str(b)) - dfs(0, 0, True, False, str(a - 1)))

不要62

题目描述：

杭州人称那些傻乎乎粘嗒嗒的人为 $62$（音：$laoer$）。

杭州交通管理局经常会扩充一些的士车牌照，新近出来一个好消息，以后上牌照，不再含有不吉利的数字了，这样一来，就可以消除个别的士司机和乘客的心理障碍，更安全地服务大众。

不吉利的数字为所有含有 $4$ 或 $62$ 的号码。例如：$62315$、$73418$、$88914$ 都属于不吉利号码。但是，$61152$ 虽然含有 $6$ 和 $2$，但不是连号，所以不属于不吉利数字之列。

你的任务是，对于每次给出的一个牌照号区间 $[n,m]$，推断出交管局今后又要实际上给多少辆新的士车上牌照了。

输入格式：

输入包含多组测试数据，每组数据占一行。

每组数据包含一个整数对 $n$ 和 $m$。

当输入一行为 0 0 时，表示输入结束。

输出格式：

对于每个整数对，输出一个不含有不吉利数字的统计个数，该数值占一行位置。

数据范围：

$1\le n\le m\le 10^9$

输入样例：

1 100
0 0

输出样例：

80

代码实现

import sys
from functools import lru_cache
sys.setrecursionlimit(1000000)
input = sys.stdin.readline@lru_cache(maxsize=None, typed=False)
def dfs(idx, front, is_limit, is_num, s):if idx == len(s):return int(is_num)res = 0if not is_num:res = dfs(idx + 1, front, False, False, s)up = int(s[idx]) if is_limit else 9for d in range(1 - int(is_num), up + 1):if is_num and d == 2 and front == 6 or d == 4:continueres += dfs(idx + 1, d, is_limit and d == up, True, s)return reswhile True:n, m = map(int, input().strip().split())if n == m == 0:breakprint(dfs(0, 0, True, False, str(m)) - dfs(0, 0, True, False, str(n - 1)))

恨7不成妻

题目描述：

单身！

依然单身！

吉哥依然单身！

$DS$ 级码农吉哥依然单身！

所以，他平生最恨情人节，不管是 $214$ 还是 $77$，他都讨厌！

吉哥观察了 $214$ 和 $77$ 这两个数，发现：

$2+1+4=7$

$7+7=7\times 2$

$77=7\times 11$

最终，他发现原来这一切归根到底都是因为和 $7$ 有关！

所以，他现在甚至讨厌一切和 $7$$ 有关的数！

什么样的数和 $7$ 有关呢？

如果一个整数符合下面三个条件之一，那么我们就说这个整数和 $7$ 有关：

① 整数中某一位是 $7$；

② 整数的每一位加起来的和是 $7$ 的整数倍；

③ 这个整数是 $7$ 的整数倍。

现在问题来了：吉哥想知道在一定区间内和 $7$ 无关的整数的平方和。

输入格式：

第一行包含整数 $T$，表示共有 $T$ 组测试数据。

接下来 $T$ 行，每行包含两个整数 $L$ 和 $R$。

输出格式：

对于每组数据，请计算 $[L,R]$ 中和 $7$ 无关的数字的平方和，并将结果对 $10^9+7$ 取模后输出。

数据范围：

$1\le T\le 50$

$1\le L\le R\le 10^{18}$

输入样例：

3
1 9
10 11
17 17

输出样例：

236
221
0

代码实现

import sys
from functools import lru_cache
sys.setrecursionlimit(1000000)
input = sys.stdin.readline@lru_cache(maxsize=None, typed=False)
def dfs(idx, sum_digit, total, is_limit, is_num, s):if idx == len(s):if not is_num or sum_digit % 7 == 0 or int(total) % 7 == 0:return 0return int(total) ** 2res = 0if not is_num:res = dfs(idx + 1, sum_digit, total, False, False, s)up = int(s[idx]) if is_limit else 9for d in range(1 - int(is_num), up + 1):if d == 7:continueres += dfs(idx + 1, sum_digit + d, total + str(d), is_limit and d == up, True, s)return rest = int(input().strip())
for _ in range(t):a, b = map(int, input().strip().split())print(dfs(0, 0, "", True, False, str(b)) - dfs(0, 0, "", True, False, str(a - 1)))