【数据结构与算法】搜索算法（深度优先搜索 DFS和广度优先搜索 BFS）以及典型算法例题

搜索算法（深度优先搜索DFS和广度优先搜索BFS）以及典型算法例题
- 深度优先搜索（Depth First Search 简称 DFS）
- - DFS 的设计步骤
  - 深度优先搜索（DFS）算法例题
  - - 例题一：N皇后问题
    - 例题二：路径之谜问题
    - 例题三：最大数字
- 广度优先搜索（Breadth First Search 简称 BFS）
- - 广度优先搜索基本概念
  - 广度优先搜索（BFS）算法例题
  - - 例题一：长草问题
    - 例题二：走迷宫问题

【数据结构与算法】系列文章链接: 【数据结构与算法】递推法和递归法解题（递归递推算法典型例题）
【数据结构与算法】系列文章链接: 【数据结构与算法】C++的STL模板（迭代器iterator、容器vector、队列queue、集合set、映射map）以及算法例题

搜索算法（深度优先搜索DFS和广度优先搜索BFS）以及典型算法例题

深度优先搜索（Depth First Search 简称 DFS）

注意：深度优先搜索算法（DFS）的时间复杂度较高，深度优先搜索是 O(n!) 的阶乘级算法，它的效率非常低，在数据规模变大时，此算法就难以解决当前的问题了。

DFS 的设计步骤

确定题目的状态以及边界
确定状态的转移方式
找到问题的出口，计数或某个状态
设计搜索
DFS的通用模板

int check(这里输入相关参数){if(condition)//括号中写上对应的满足条件return 1;//满足条件后输出 1 return 0;
}
bool pd(输入判断的相关参数){//根据题中 进行具体的操作
}void dfs(int step)
{//判断边界pd(){//不在边界内，即回溯}//尝试每一种可能{//满足check条件//标记//继续下一步dfs(step+1)；//恢复初始状态（回溯的时候要用到）}
}

深度优先搜索（DFS）算法例题

例题一：N皇后问题

在这里插入图片描述
输入示例：

输出示例：

题目分析：

第一步：
设：当前行为第一行，当前列为第一列，从第一列开始搜索，即只能让皇后从第一行放到第n行。
这样做的好处是，我们不需要去判断皇后是否同行，我们只需要去判断皇后是否在斜线和是否同列就行。
判断边界
在当前行，当前列的位置上判断是否满足条件（也就是保证经过这一点的行，列与斜线上都没有两个皇后），如果不满足，跳到第五步（不符合边界条件）
判断条件为：
我们使用数值x[a]=i来表示第a个皇后的位置在第a行的第i列。
判断是否同列的方法是：循环判断x[a]==x[i]是否为真。
判断是否在同一斜线上的方法：循环判断abs(x[k]-x[i]) == abs(k-i) 是否为真
搜索过程
调用check()函数
如果完成（满足）题意的任务加一，就继续调用函数放下一个皇后
check()函数
如果搜索到第N+1行的时候。求得结果（可行方案数量）记录加一。
当前位置不满足，进行回溯。

边界判断函数PD(int k) 判断是否越界：

int PD(int k)//边界判断
{for(int i=1; i<k; i++){if(abs(k-i)==abs(x[k]-x[i]))return 0;else if (x[k]==x[i])return 0;//即判断是否符合条件来放,i表示皇后所在的行数，x[i]表示所在的列数，//所以前面那个条件用来判断两个皇后是否在对角线上,后面用来判断是否在同一列上。//行数不需要判断，因为他们本身的i就代表的是行数}return 1;
}

检查是否完成题中任务的函数check(int a)：

bool check(int a)
{if(a>n)sum++;elsereturn 0;return 1;
}

深度优先搜索的函数 DFS(int a)：

void DFS(int a)
{if(check(a))return ;elsefor(int i=1; i<=n; i++){x[a]=i;//第a个皇后放的列数if(PD(a))//判断是否能放这步DFS(a+1);//能的话进行下一个皇后的放置x[a]=i;else continue ;//不能就下一列}
}

题解代码示例：


#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
int x[15] = {0};//数组稍微建立大一点 防止某些不影响结果的越界报错
int sum,n;//int PD(int k)//边界判断
{for(int i=1; i<k; i++){if(abs(k-i)==abs(x[k]-x[i]))return 0;else if (x[k]==x[i])return 0;//即判断是否符合条件来放,i表示皇后所在的行数，x[i]表示所在的列数，//所以前面那个条件用来判断两个皇后是否在对角线上,后面用来判断是否在同一列上。//行数不需要判断，因为他们本身的i就代表的是行数}return 1;
}//检查
bool check(int a)
{if(a>n)sum++;elsereturn 0;return 1;
}void DFS(int a)
{if(check(a))return ;elsefor(int i=1; i<=n; i++){x[a]=i;//第a个皇后放的列数if(PD(a))//判断是否能放这步DFS(a+1);//能的话进行下一个皇后的放置x[a]=i;else continue ;//不能就下一列}
}
int main()
{cin>>n;//表示几个皇后DFS(1);//每次都从第一个皇后开始cout<<sum<<endl;return 0;
}

例题二：路径之谜问题

在这里插入图片描述
输入示例：

4
2 4 3 4
4 3 3 3

输出示例;

0 4 5 1 2 3 7 11 10 9 13 14 15

题目分析：
方法一：采用逆推法，逆向思维，从终点开始走，每走一格拔下来一个箭（采用方法一判断条件方便）
方法二：走一格射两个箭。
1.
设当前位置为第一行，当前列为第一列从左上角开始搜索（寻路）。
2. 判断边界：
在当前行，当前列的位置上判断是否满足条件，若不满足条件跳到第五步。
判断条件：
flag[x][y]==1标记数组已经被走过
x<1 || x>n || y<1 || y>n分别表示从左侧走出方格、从右侧走出方格、从上出走出方格、从下处走出方格
col[x]<=0箭用完了
rol[y]<=0箭用完了

搜索过程
调用check()函数。判断是否走到终点，如果走到终点是否完成任务
check()函数：
如果当搜索到x=n,y=n时，且箭靶上的箭都没了
在当前位置上不满足条件的情况，进行回溯，并且还原现场。

check()函数：判断是否走到终点，如果走到终点是否完成任务

bool  check(int x, int y) //判断走过的路径的箭靶数是否与目标相同
{if(x==n && y==n)//走到了终点 {for(int i=1; i<=n; i++){//判断每一列是否为零 if(col[i]!=0){return false;}//如果箭靶上的数目不为0，根据逆推，我们通过当前路径得不到箭靶上的结果}for(int i=1; i<=n; i++){//判断每一行是否为零if(rol[i]!=0){return false;}//如果箭靶上的数目不为0，根据逆推，我们通过当前路径得不到箭靶上的结果}//如果都为零了 就说明这条路对了  然后把这条路线输出出来for(int i=0; i<res.size(); i++){int x=res[i].first;//x 轴坐标int y=res[i].second;//y 轴坐标int sum=n*(x-1)+y-1 ;// 通过计算的到为题目要求的坐标系cout <<sum<< " ";}cout << endl;return false;// 成功终止}//没走到终点return true; //继续搜索//关于终止还是继续我们交给判定即可
}

判断是否超出边界的函数pd()：

//边缘判断条件
bool pd(int x2,int y2) //边界判断
{if(flag[x2][y2]==1)return 0;//已被走过，不能再走，超出边界else if(x2<1)return 0;//从左侧走出方格else if(x2>n)return 0;//从右侧走出方格else if(y2<1)return 0;//从上侧走出方格else if(y2>n)return 0;//从下侧走出方格//剪枝else if(col[x2]<=0)return 0;//没走到右下角，箭用完了else if(rol[y2]<=0)return 0;//没走到右下角，箭用完了else return 1;//符合边界条件，可以继续执行搜索
}

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;struct PII
{int first;//x坐标int second;//y坐标
};const int N = 30;
int rol[N];//行 也就是y轴
int col[N];//列 也就是x轴
int n;//格子数 长宽从1到n
bool flag[N][N]; //用来标记是否走过
vector<PII> res;////---------图的路径搜索常用方向移动表示-------int dx[4]= {0,1,-1,0};
int dy[4]= {1,0,0,-1};
//我们做一下约定：
// 两两组合形成上下左右四个方向
//      1------------------> x
//      |
//      |
//      |
//      |
//      |
//      |
//      |
//      ↓
//      y// dx[0]=0 dy[0]=1 那么代表向下的方向
// dx[1]=1 dy[1]=0 那么代表向右的方向
// dx[2]=-1 dy[0]=0 那么代表向左的方向
// dx[3]=0 dy[1]=-1 那么代表向上的方向//--------------------------------------------bool  check(int x, int y) //判断走过的路径的箭靶数是否与目标相同
{if(x==n && y==n)//走到了终点 {for(int i=1; i<=n; i++){//判断每一列是否为零 if(col[i]!=0){return false;}//如果箭靶上的数目不为0，根据逆推，我们通过当前路径得不到箭靶上的结果}for(int i=1; i<=n; i++){//判断每一行是否为零if(rol[i]!=0){return false;}//如果箭靶上的数目不为0，根据逆推，我们通过当前路径得不到箭靶上的结果}//如果都为零了 就说明这条路对了  然后把这条路线输出出来for(int i=0; i<res.size(); i++){int x=res[i].first;//x 轴坐标int y=res[i].second;//y 轴坐标int sum=n*(x-1)+y-1 ;// 通过计算的到为题目要求的坐标系cout <<sum<< " ";}cout << endl;return false;// 成功终止}//没走到终点return true; //继续搜索//关于终止还是继续我们交给判定即可
}//边缘判断条件
bool pd(int x2,int y2) //边界判断
{if(flag[x2][y2]==1)return 0;//已被走过，不能再走，超出边界else if(x2<1)return 0;//从左侧走出方格else if(x2>n)return 0;//从右侧走出方格else if(y2<1)return 0;//从上侧走出方格else if(y2>n)return 0;//从下侧走出方格//剪枝else if(col[x2]<=0)return 0;//没走到右下角，箭用完了else if(rol[y2]<=0)return 0;//没走到右下角，箭用完了else return 1;//符合边界条件，可以继续执行搜索
}void dfs(int x,int y)
{if(!check(x,y)){return ;//包含不符合规则的地方，回溯，用于剪枝}else{for(int i=0; i<4; i++){int xt=dx[i]+x;int yt=dy[i]+y;if(!pd(xt,yt)){continue ;//不符合要求继续换方向搜索}else{//因为要进行位置转移，我们给它起个名字，叫作案现场//比如向下移动flag[xt][yt]=true;col[xt]--;rol[yt]--;res.push_back({xt,yt});dfs(xt,yt);//搜索回溯后，因为没有找到正确答案，所以要回复作案现场，返回到搜索之前res.pop_back();flag[xt][yt]=false;col[xt]++;rol[yt]++;}}}
}int main()
{cin >> n;for(int i=1; i<=n; i++)cin >> rol[i];for(int i=1; i<=n; i++)cin >> col[i];flag[1][1]=true;col[1]--;//先拔一根箭rol[1]--;//先拔一根箭res.push_back({1,1});dfs(1,1);return 0;
}

例题三：最大数字

在这里插入图片描述
输入样例：

123 1 2

输出样例：

在这里插入图片描述
题目分析：

从左到右以此判断，从左边开始枚举。处理的时候的目的就是保证当前正在处理的数尽可能的变大。
使用的时候对于一个数要么使用方法一，要么使用方法二，因为它们是抵消的效果。
对于一个数字:
**操作二的使用情况：**如果这个数大于m（操作二的最大执行次数）,那么就没必要执行操作二了，这样反而让这个数据更小。因此执行操作二的条件是:x<m.
**操作一的使用情况：**如果这个数据x>=m我们就执行操作一，一直加尽量加到9，那么需要进行 9-x 次操作一。当然可能此时 1 号操作并不足以让我们将 x 变成 9，但我们还是使用剩余的全部的次数将其变大，也就是变为x+t。因此，本次使用了操作一的次数为t=min(n,9-x).

题解代码示例：

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
typedef long long LL;char c[20];
LL ans=0;//n:1号操作剩余次数  m:2号操作剩余次数
int n,m;
void dfs(int i,LL v){//从左往右	 int x=c[i]-'0';//数据转化 if(c[i]){//检查 c[i] 是否存在且不为空字符 //应该使用的操作次数int t=min(n,9-x);n-=t;dfs(i+1,v*10+x+t);//递归调用//回溯n+=t;//考虑操作2是否能够使用//目的是减小到9 if(m>x){//只有在m>x 的情况下才使用m-=(x+1);dfs(i+1,v*10+9);//递归调用//回溯m+=(x+1);}}else{//答案取maxans=max(ans,v);}
}
int main()
{scanf("%s%d%d",c,&n,&m);dfs(0,0);printf("%lld\n",ans);return 0;
}

方法二：（方法二存在样例不通过的情况）

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
typedef long long LL;char c[20];
LL ans=0;//n:1号操作剩余次数  m:2号操作剩余次数
int n,m;
void find_max(int i,LL v){//从左往右	 int x;//数据转化 int t;//用的是字符串 '\0' while(c[i]){//检查 c[i] 是否存在且不为空字符 x=c[i]-'0';//转换数字if(m<=x){//如果这个数 大于或等于 减一的操作次数  //应该使用的操作次数t=min(n,9-x);//n-=t;v=v*10+x+t;//记录下来 x+t 加完后的数 i++;ans=max(ans,v);}//考虑操作2是否能够使用//目的是减小到9 else{v=v*10+9;m-=(x+1);i++;ans=max(ans,v);}}}
int main()
{scanf("%s%d%d",c,&n,&m);find_max(0,0);printf("%lld\n",ans);return 0;
}

广度优先搜索（Breadth First Search 简称 BFS）

广度优先搜索（Breadth First Search，简称BFS）：从某个状态开始，将所有节点加入一个先进先出的队列，然后一层层进行状态转移，并且展开节点。

广度优先搜索基本概念

伪代码：

int check(参数)
{if(满足条件)return 1;return 0;
}
bool pd(参数){相应操作
}
void bfs()
{1. 把根节点放入队列尾端2. 每次从队列中取出一个节点3. Check 判断是不是答案，如果是结束算法 return;4. 把当前取出的节点扩展，如果扩展后的节点经Pd()后符合要求，就放入队列，不符合就不放。5. 转到步骤2，循环执行
}如果所有节点被扩展完了，没有找到答案就无解。

广度优先搜索（BFS）算法例题

例题一：长草问题

在这里插入图片描述

输入示例：

4 5
.g...
.....
..g..
.....
2

输出示例：

gggg.
gggg.
ggggg
.ggg.

解题思路：使用 $N \times M$ 的矩阵来表示草地。

将字母g的位置加入队列
判断边界：
判断是否长草，是否超出范围
搜索
不断从队列中取出一个节点，进行上下左右的扩展，执行2的判断边界条件，符合的就放入队列，不符合就跳过。
执行K次扩展，输出草地状态
check()函数：
本题输出最终状态因此不用这个函数

在广度优先搜索（BFS）中，我们通常需要对队列中的节点进行扩展，也就是对当前节点的邻居节点进行处理。处理完一个节点后，我们应该将其从队列中移除，以避免重复处理相同的节点，确保每个节点只被处理一次。
因此需要：

	tempPair = q.front();q.pop();//这两步是取出队首的节点

题解代码示例：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int M = 1005;struct PII//坐标
{int first;int second;
};// C++ 有个数据类型叫 pair 上面的就可以定义为 pair<int,int> 用起来比较方便。
PII tempPair;//临时结点char Map[M][M];//---------图的路径搜索常用方向移动表示-------
int dx[4]= {0,1,-1,0};
int dy[4]= {1,0,0,-1};
// 两两组合形成上下左右四个方向
//      1------------------> x
//      |
//      |
//      |
//      |
//      |
//      |
//      |
//      ↓
//      y// dx[0]=0 dy[0]=1 那么代表向下的方向// dx[1]=1 dy[1]=0 那么代表向右的方向// dx[2]=-1 dy[0]=0 那么代表向左的方向// dx[3]=0 dy[1]=-1 那么代表向上的方向int n;// n 行
int m;// m 列
int k;// k 次//记录 坐标位置
queue<PII > q; //广度优先搜索所用的队列int len;//记录节点数量方便后续k的计算bool pd(int x, int y)
{if(x<1)return 0;// /x 轴坐标 左侧越界else if(x>n)return 0;//x 轴坐标 右侧越界else  if(y<1)return 0;//y 轴坐标 上侧越界else if(y>m)return 0;//y 轴坐标 下侧越界else if(Map[x][y]=='g')return 0;//已经长草了else return 1;// 在范围内，且没长草
}void BFS()
{//BFS //记得 层次while(!q.empty()&&k>0){tempPair = q.front();q.pop();//这两步是取出队首的节点int x = tempPair.first;//横坐标int y = tempPair.second;//纵坐标//四种扩展情况for(int i=0; i<4; i++){int nowx = x+dx[i]; //扩展后的横坐标int nowy = y+dy[i]; //扩展后的纵坐标if(pd(nowx,nowy)){q.push({nowx,nowy});Map[nowx][nowy]='g';}//符合要求执行扩展，不符合要求，忽略即可。}len--; //每扩展一个节点len  -1if(len==0){//当len =0 时，代表当前层扩展完了，那么就代表第一个月扩展完了k--; // 所以k--//更新草的数目len = q.size(); // 当前层扩展完了，那就该扩展下一层了，所以len又被赋值为下一层的节点数目的值}}
}int main()
{//输入cin>>n>>m;for(int i=1; i<=n; i++){for(int j=1; j<=m; j++){cin>>Map[i][j];if(Map[i][j]=='g'){tempPair.first=i;tempPair.second=j;// cout<<i<<""<<j<<endl;q.push(tempPair);//将初始有树的结点加入队列}}}len = q.size();//记录第一层的节点数量方便后续k的计算cin>>k;BFS();//输出for(int i=1; i<=n; i++){for(int j=1; j<=m; j++){cout<<Map[i][j];}cout<<endl;}return 0;
}

例题二：走迷宫问题

在这里插入图片描述
输入示例：

输出示例：

解题分析：

1. 开始BFS，将入口加入队列中。
2. 判断边界：

题解代码示例：


#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;int vis[150][150]; //用于存储是否访问过，并且存储长度char G[150][150]; //用于存储题目给出的地图int n,m,ans=0;int dx[4] = {0,0,-1,1};int dy[4] = {1,-1,0,0};//上下左右移动struct node
{int x;int y;
};node Start,End;
bool pd(int x,int y)
{if(x<1)return 0;//从左侧走出方格else if(x>n)return 0;//从右侧走出方格else if(y<1)return 0;//从上侧走出方格else if(y>m)return 0;//从下侧走出方格else if( vis[x][y]!=0)//已经访问了return 0;else if(G[x][y]!='1') return 0;//不是路不能走else return 1;
}bool  check(int x, int y)
{if(x == End.x&& y == End.y)   //找到终点，把距离给他{ans  =  vis[x][ y];return 1;}else    return 0;}
void bfs()
{queue<node>q;node now,next;q.push(Start);     //将起点压人队列中vis[Start.x][Start.y] = 1;while(!q.empty()){now = q.front();if(check(now.x,now.y))return ;q.pop();     //将队列最前面的弹出。for(int i=0; i<4; i++)  //四个方向{int nextx = now.x + dx[i];int nexty = now.y + dy[i];if(pd(nextx,nexty))  //判断是否符合条件{next.x=nextx;next.y=nexty;q.push(next);vis[nextx][nexty] = vis[now.x][now.y]+1; //步数+1}}}
}
int main()
{cin>>n>>m;//memset(vis,0,sizeof(vis));for(int i=1; i<=n; i++){for(int j=1; j<=m; j++){cin>>G[i][j];}}cin>>Start.x>>Start.y>>End.x>>End.y;ans = 0;bfs();cout<<ans-1<<endl;return 0;
}