6. 树的入门

之前我们实现的符号表中，不难看出，符号表的增删查操作，随着元素个数N的增多，其耗时也是线性增多的，时间复杂度都是O(n),为了提高运算效率，接下来我们学习树这种数据结构。

6.1 树的基本定义

树是我们计算机中非常重要的一种数据结构，同时使用树这种数据结构，可以描述现实生活中的很多事物，例如家

谱、单位的组织架构、等等。

树是由n（n>=1）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就

是说它是根朝上，而叶朝下的。

树具有以下特点：

1.每个结点有零个或多个子结点；

2.没有父结点的结点为根结点；

3.每一个非根结点只有一个父结点；

4.每个结点及其后代结点整体上可以看做是一棵树，称为当前结点的父结点的一个子树；

6.2 树的相关术语

结点的度：

一个结点含有的子树的个数称为该结点的度；

叶结点：

度为0的结点称为叶结点，也可以叫做终端结点

分支结点：

度不为0的结点称为分支结点，也可以叫做非终端结点

结点的层次：

从根结点开始，根结点的层次为1，根的直接后继层次为2，以此类推

结点的层序编号：

将树中的结点，按照从上层到下层，同层从左到右的次序排成一个线性序列，把他们编成连续的自然数。

树的度：

树中所有结点的度的最大值

树的高度(深度)：

树中结点的最大层次

森林：

m（m>=0）个互不相交的树的集合，将一颗非空树的根结点删去，树就变成一个森林；给森林增加一个统一的根

结点，森林就变成一棵树。

孩子结点：

一个结点的直接后继结点称为该结点的孩子结点

双亲结点(父结点)：

一个结点的直接前驱称为该结点的双亲结点

兄弟结点：

同一双亲结点的孩子结点间互称兄弟结点

6.3 二叉树的基本定义

二叉树就是度不超过2的树(每个结点最多有两个子结点)

满二叉树：

一个二叉树，如果每一个层的结点树都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。

完全二叉树：

叶节点只能出现在最下层和次下层，也就是说除了最下层别的层都是满的，并且最下面一层的结点都集中在该层最左边的若干位置的二叉树。

6.4 二叉查找树的创建

6.4.1 二叉树的结点类

根据对图的观察，我们发现二叉树其实就是由一个一个的结点及其之间的关系组成的，按照面向对象的思想，我们

设计一个结点类来描述结点这个事物。

结点类API设计：

代码实现：

package com.ynu.Java版算法.U6_树的入门.T4_二叉查找树的创建.S1_二叉树的节点类;// 二叉树的节点类
//  存放的是键值对
public class Node<Key,Value> {//存储键public Key key;//存储值   -- 值是私有的 不能直接 对象+点 访问private Value value;//记录左子结点public Node left;//记录右子结点public Node right;public Node() {}public Node(Key key, Value value, Node left, Node right) {this.key = key;this.value = value;this.left = left;this.right = right;}
}

6.4.2 二叉查找树API设计

6.4.3 二叉查找树实现

查询方法get实现思想：

从根节点开始：

1. 如果要查询的key小于当前结点的key，则继续找当前结点的左子结点；

2. 如果要查询的key大于当前结点的key，则继续找当前结点的右子结点；

3. 如果要查询的key等于当前结点的key，则树中返回当前结点的value。

删除方法delete实现思想：

1. 找到被删除结点；

2. 找到被删除结点右子树中的最小结点minNode

3. 让被删除结点的左子树成为最小结点minNode的左子树，让被删除结点的右子树成为最小结点minNode的右子树

4. 让被删除结点的父节点指向最小结点minNode

二叉树的增删改查都和递归有关系。

package com.ynu.Java版算法.U6_树的入门.T4_二叉查找树的创建.S2_二叉查找树API设计;public class BinaryTree<Key extends Comparable<Key>,Value> {//记录根结点private Node root;//记录树中元素的个数private int N;// 获取树种元素的个数public int size(){return N;}//向当前的树x中添加key-value,并返回添加元素后新的树public void put(Key key,Value value){root = put(root,key,value);}// 增//向指定的树x中添加key-value,并返回添加元素后新的树public Node put(Node node,Key key,Value value){// 这就是递归的出口if (node==null){N++;  //树的节点个数加1return new Node(key,value,null,null);}int cmp = key.compareTo(node.key);if (cmp>0){//新结点的key大于当前结点的key，继续找当前结点的右子结点// 下一层递归node.right = put(node.right, key, value);}else if (cmp < 0){//新结点的key小于当前结点的key，继续找当前结点的左子结点// 下一层递归node.left = put(node.left,key,value);}else {//新结点的key等于当前结点的key，修改值node.value = value;}return node;}//查询当前树中指定key对应的valuepublic Value get(Key key){return get(root,key);}//从指定的树x中，查找key对应的值public Value get(Node node,Key key){// 递归出口if (node==null){return null;}int cmp = key.compareTo(node.key);if (cmp>0){//如果要查询的key大于当前结点的key，则继续找当前结点的右子结点；return get(node.right,key);}else if (cmp<0){//如果要查询的key小于当前结点的key，则继续找当前结点的左子结点；return get(node.left,key);}else {//如果要查询的key等于当前结点的key，则树中返回当前结点的value。return node.value;}}//删除树中key对应的valuepublic void delete(Key key){root = delete(root,key);}//删除指定树中key对应的valuepublic Node delete(Node node,Key key){if (node==null){return null;}int cmp = key.compareTo(node.key);if (cmp>0){//新结点的key大于当前结点的key，继续找当前结点的右子结点return delete(node.right,key);}else if (cmp<0){//新结点的key小于当前结点的key，继续找当前结点的左子结点return delete(node.left,key);}else {//新结点的key等于当前结点的key,当前x就是要删除的结点//1.如果当前结点的右子树不存在，则直接返回当前结点的左子结点if (node.left==null){return node.right;}//2.如果当前结点的左子树不存在，则直接返回当前结点的右子结点if (node.right==null){return node.left;}// 都不存在其实就是返回空了 无需单独判断// 3.左右节点都存在找到右子树中的最小节点替换当前节点// 3.1 去寻找右子树的最小节点Node pre = node;   // 记录最小节点的父节点Node minNode = node.right;while (minNode.left!=null){pre = minNode;minNode = minNode.left;}//3.2 删除右子树的最小节点并且替换到当前节点pre.left = null;minNode.left = node.left;minNode.right = node.right;node = minNode;N--;}return node;}private class Node {//存储键public Key key;//存储值   -- 值是私有的 不能直接 对象+点 访问private Value value;//记录左子结点public Node left;//记录右子结点public Node right;public Node() {}public Node(Key key, Value value, Node left, Node right) {this.key = key;this.value = value;this.left = left;this.right = right;}}@Overridepublic String toString() {StringBuilder sb = new StringBuilder();return "BinaryTree{}";}
}
package com.ynu.Java版算法.U6_树的入门.T4_二叉查找树的创建.S2_二叉查找树API设计;public class Main {public static void main(String[] args) {BinaryTree<Integer,String> binaryTree = new BinaryTree<>();binaryTree.put(10,"ybh");binaryTree.put(9,"ybh");binaryTree.put(12,"lmj");binaryTree.put(7,"czx");binaryTree.put(25,"lh");binaryTree.put(11,"lh");System.out.println(binaryTree.size());binaryTree.delete(12);System.out.println(binaryTree.size());}
}

6.4.4 二叉查找树其他便捷方法

6.4.4.1 查找二叉树中最小的键

在某些情况下，我们需要查找出树中存储所有元素的键的最小值，比如我们的树中存储的是学生的排名和姓名数

据，那么需要查找出排名最低是多少名？这里我们设计如下两个方法来完成：

6.5 二叉树的基础遍历

很多情况下，我们可能需要像遍历数组数组一样，遍历树，从而拿出树中存储的每一个元素，由于树状结构和线性

结构不一样，它没有办法从头开始依次向后遍历，所以存在如何遍历，也就是按照什么样的搜索路径进行遍历的问

题。

我们把树简单的画作上图中的样子，由一个根节点、一个左子树、一个右子树组成，那么按照根节点什么时候被访

问，我们可以把二叉树的遍历分为以下三种方式：

1. 前序遍历；

   先访问根结点，然后再访问左子树，最后访问右子树

2. 中序遍历； 中序遍历二叉查找树得到的是升序序列

   先访问左子树，中间访问根节点，最后访问右子树

3. 后序遍历；

   先访问左子树，再访问右子树，最后访问根节点

如果我们分别对下面的树使用三种遍历方式进行遍历，得到的结果如下：

6.5.1 前序遍历

我们在6.4中创建的树上，添加前序遍历的API：

public Queue <Key> preErgodic()：使用前序遍历，获取整个树中的所有键

private void preErgodic(Node x,Queue <Key> keys)：使用前序遍历，把指定树x中的所有键放入到keys队列中实现过程中，我们通过前序遍历，把每个结点的键取出，放入到队列中返回即可。

// 前序遍历指定的树private void preErgodic(Node node){if (node==null){return;}queue.add(node.key); //遍历当前节点// 遍历左子树if (node.left!=null){preErgodic(node.left);}// 遍历右子树if (node.right!=null){preErgodic(node.right);}}

6.5.1 中序遍历

我们在6.4中创建的树上，添加前序遍历的API：

public Queue<Key> midErgodic()：使用中序遍历，获取整个树中的所有键

private void midErgodic(Node x,Queue<Key> keys)：使用中序遍历，把指定树x中的所有键放入到keys队列中 。

// 中序遍历整棵树public Queue<Key> midErgodic(){queue.clear();midErgodic(root);return queue;}// 中序遍历整棵树public void midErgodic(Node node){if (node==null){return;}if (node.left!=null){midErgodic(node.left);}queue.add(node.key);if (node.right!=null){midErgodic(node.right);}}

6.5.3 后序遍历

我们在6.4中创建的树上，添加前序遍历的API：

public Queue<Key> afterErgodic()：使用后序遍历，获取整个树中的所有键

private void afterErgodic(Node x,Queue<Key> keys)：使用后序遍历，把指定树x中的所有键放入到keys队列中。

// 后序遍历这整棵树public Queue<Key> afterErgodic(){queue.clear();afterErgodic(root);return queue;}public void afterErgodic(Node node){if (node==null){return;}if (node.left!=null){afterErgodic(node.left);}if (node.right!=null){afterErgodic(node.right);}queue.add(node.key);}

6.6 二叉树的层序遍历

所谓的层序遍历，就是从根节点（第一层）开始，依次向下，获取每一层所有结点的值，有二叉树如下：

那么层序遍历的结果是：EBGADFHC

我们在6.4中创建的树上，添加层序遍历的API：

public Queue<Key> layerErgodic()：使用层序遍历，获取整个树中的所有键

实现步骤：

1.创建队列，存储每一层的结点；

2.使用循环从队列中弹出一个结点：

2.1 获取当前结点的key；

2.2 如果当前结点的左子结点不为空，则把左子结点放入到队列中

2.3 如果当前结点的右子结点不为空，则把右子结点放入到队列中

 // 层次遍历public Queue<Key> layerErgodic(){Queue<Key> keys  = new LinkedList<>();Queue<Node> nodes  = new LinkedList<>();nodes.add(root);while (!nodes.isEmpty()){Node x = nodes.poll();keys.add(x.key);if (x.left!=null){nodes.add(x.left);}if (x.right!=null){nodes.add(x.right);}}return keys;}

6.7 二叉树的最大深度问题

需求：

给定一棵树，请计算树的最大深度（树的根节点到最远叶子结点的最长路径上的结点数）;

上面这棵树的最大深度为4。

实现：

我们在6.4中创建的树上，添加如下的API求最大深度：

public int maxDepth()： 计算整个树的最大深度

private int maxDepth(Node x): 计算指定树x的最大深度

// 计算整个树的最大深度
public int maxDepth(){return maxDepth(root);
}// 计算指定树x的最大深度
private int maxDepth(Node x){//1.如果根结点为空，则最大深度为0；if (x==null){return 0;}int maxL = 0;int maxR = 0;//2.计算左子树的最大深度；if (x.left!=null){maxL = maxDepth(x.left);}//3.计算右子树的最大深度；if (x.right!=null){maxR = maxDepth(x.right);}//4.当前树的最大深度=左子树的最大深度和右子树的最大深度中的较大者+1return maxL>maxR?maxL+1:maxR+1;}package com.ynu.Java版算法.U6_树的入门.T6_二叉树的层次遍历;
import java.util.Queue;public class Main {public static void main(String[] args) {BinaryTree<Integer, String> bt = new BinaryTree<>();bt.put(1,"A");bt.put(5,"A");bt.put(4,"A");bt.put(6,"A");bt.put(2,"A");bt.put(3,"A");bt.put(8,"A");bt.put(7,"A");// 树的高度System.out.println(bt.maxDepth());}
}