Leetcode 583. 两个字符串的删除操作
题目链接：583 两个字符串的删除操作
题干：给定两个单词
word1和word2，返回使得word1和word2相同所需的最小步数。每步 可以删除任意一个字符串中的一个字符。
思考：动态规划。本题中的步数可以看作删除字母，使得两单词最终处理为相同字母组。
- 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i][j]：使得 以i - 1结尾的单词word1和以j - 1结尾的单词word2 相同所需的最小步数。
- 确定递推公式
从dp[i][j]的定义可以看出，字母比较就两种情况
- 当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]相同的时候
- 当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]不相同的时候
当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]相同的时候，dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]不相同的时候，有三种情况：
情况一：删word1[i - 1]，最少操作次数为dp[i - 1][j] + 1
情况二：删word2[j - 1]，最少操作次数为dp[i][j - 1] + 1
情况三：同时删word1[i - 1]和word2[j - 1]，最少的操作次数为dp[i - 1][j - 1] + 2
当然要取最小值，所以当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]不相同的时候，递推公式：dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1] + 2, dp[i - 1][j] + 1, dp[i][j - 1] + 1});
又因为 dp[i][j - 1] + 1 = dp[i - 1][j - 1] + 2，所以递推公式可简化为：dp[i][j] = min(dp[i - 1][j] + 1, dp[i][j - 1] + 1);
- dp数组如何初始化
从递推公式中，可以看出来，dp[i][0] 和 dp[0][j]是一定要初始化的。
dp[i][0]：word2为空字符串，以i-1为结尾的字符串word1要删除多少个元素，才能和word2相同呢，很明显dp[i][0] = i。同理 dp[0][j] = j。
- 确定遍历顺序
从递推公式 dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + 1; 和dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]可以看出dp[i][j]都是根据左上方、正上方、正左方推出来的。
所以遍历的时候一定是从上到下，从左到右，这样保证dp[i][j]可以根据之前计算出来的数值进行计算。
- 举例推导dp数组
举例：word1:"sea"，word2:"eat"，推导dp数组状态图如下：
代码：
class Solution {
public:int minDistance(string word1, string word2) {//dp[i][j]:使得 以i - 1结尾的单词word1和以j - 1结尾的单词word2 相同所需的最小步数 vector<vector<int>> dp(word1.size() + 1, vector<int>(word2.size() + 1));for (int i = 1; i <= word1.size(); i++) //单词word2为空的情况dp[i][0] = i;for (int j = 1; j <= word2.size(); j++) //单词word1为空的情况dp[0][j] = j;for (int i = 1; i <= word1.size(); i++) { //遍历单词word1for(int j = 1; j <= word2.size(); j++) { //遍历单词word2if (word1[i - 1] == word2[j - 1])dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]; //字母相同则无需无需删除字母elsedp[i][j] = min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]) + 1; //字母不相同则选一单词删除字母，取最小值}}return dp[word1.size()][word2.size()];}
};思考：动态规划。本题也可以从求公共子序列入手，要删除的元素个数（即步数）为两单词长度减去两倍公共子序列长度。具体如何求公共子序列：1143 最长公共子序列。
代码：
class Solution {
public:int minDistance(string word1, string word2) {//dp[i][j]:单词word1的处理区间[0, i - 1]与单词word2的处理区间[0, j - 1]中，存在的最长公共子序列的长度vector<vector<int>> dp(word1.size() + 1, vector<int>(word2.size() + 1, 0)); for (int i = 1; i <= word1.size(); i++) { //遍历单词word1for (int j = 1; j <= word2.size(); j++) { //遍历单词word2if (word1[i - 1] == word2[j - 1])//当前处理两字母相等 则 取两单词均缩小处理区间的最长公共子序列长度加一dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1; else //当前处理两字母不相等 则 取任选一单词缩小处理区间的最长公共子序列长度，两长度中的较大值dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]); }}return word1.size() + word2.size() - 2 * dp[word1.size()][word2.size()]; //两单词去除最长公共子序列}
};Leetcode 72. 编辑距离
题目链接：72 编辑距离
题干：给你两个单词
word1和word2， 请返回将word1转换成word2所使用的最少操作数 。你可以对一个单词进行如下三种操作：
- 插入一个字符
- 删除一个字符
- 替换一个字符
思考：动态规划。本题要先想清楚：真正要求的是将word1和word2变成相同单词的操作次数。
题干中删除word1字母的操作 可以等价为 插入word2字母的操作；插入word1字母的操作 可以等价为 删除word2字母的操作。下面就直接考虑删除操作不考虑插入操作。
因此本题与上题的区别在 确定递推公式中：
当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]不相同的时候，有不同的三种操作：
情况一：删word1[i - 1]，最少操作次数为dp[i - 1][j] + 1
情况二：删word2[j - 1](同向word1中插入)，最少操作次数为dp[i][j - 1] + 1
情况三：替换word1[i - 1]，最少的操作次数为dp[i - 1][j - 1] + 1
当然要取最小值，所以当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]不相同的时候，递推公式：dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1] + 1, dp[i - 1][j] + 1, dp[i][j - 1] + 1});
代码：
class Solution {
public:int minDistance(string word1, string word2) {//dp[i][j]:对以i- 1结尾的单词word1和以j - 1结尾的单词word2操作，让处理后两单词相同的最少操作次数vector<vector<int>> dp(word1.size() + 1, vector<int>(word2.size() + 1));for (int i = 0; i <= word1.size(); i++) //单词word2为空的情况dp[i][0] = i;for (int j = 1; j <= word2.size(); j++) //单词word1为空的情况dp[0][j] = j;for (int i = 1; i <= word1.size(); i++) { //遍历单词word1for (int j = 1; j <= word2.size(); j++) { //遍历单词word2if (word1[i - 1] == word2[j - 1])//当前两字母相同则不用处理dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]; else//当前两字母不同则考虑替换word1的字母，删除word1的字母以及删除word2的字母dp[i][j] = min(dp[i - 1][j - 1], min(dp[i - 1][j], dp[i][j -1])) + 1;}}return dp[word1.size()][word2.size()];}
};自我总结：
理解公共子序列问题的关键在于删除操作，两字符串的操作含义同dp数组的含义变化而变化。动态规划是在每次操作中考虑每种情况，统一处理。
