【数据结构】树与堆 (向上/下调整算法和复杂度的分析、堆排序以及topk问题)

news/2024/5/30 1:59:32/文章来源:https://blog.csdn.net/weixin_69380220/article/details/136434996

文章目录

  • 1.树的概念
    • 1.1树的相关概念
    • 1.2树的表示
  • 2.二叉树
    • 2.1概念
    • 2.2特殊二叉树
    • 2.3二叉树的存储
  • 3.堆
    • 3.1堆的插入(向上调整)
    • 3.2堆的删除(向下调整)
    • 3.3堆的创建
      • 3.3.1使用向上调整
      • 3.3.2使用向下调整
      • 3.3.3两种建堆方式的比较
    • 3.4堆排序
    • 3.5TopK问题

在这里插入图片描述

1.树的概念

树是一种非线性的数据结构,它是由n(n>=0)个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树,也就是说它是根朝上,而叶朝下的。如下图:

在这里插入图片描述
有一个特殊的结点,称为根结点,根节点没有前驱结点。例如A节点

除根节点外,其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm,其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。
例如:B节点又可以分成一棵树,该树只有根,没有子树。
          D节点可以分为根节点和子树。D为根节点,只有一棵子树H。

因此树可以拆分为:根和子树。 每棵子树的根结点有且只有一个前驱,可以有0个或多个后继;所以,树是递归定义的。

注意:树形结构中,子树之间不能有交集,否则就不是树形结构,即:树中不能有环!。例如:
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

1.1树的相关概念

  • 节点的度:一个节点含有的子树的个数称为该节点的度; 如上图:A的为6
  • 叶节点或终端节点度为0的节点称为叶节点; 如上图:B、C、H、I…等节点为叶节点
  • 分支节点或非终端节点度不为0的节点; 如上图:D、E、F、G…等节点为分支节点
  • 双亲节点或父节点:若一个节点含有子节点,则这个节点称为其子节点的父节点; 如上图:A是B的父节点
  • 孩子节点或子节点:一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点; 如上图:B是A的孩子节点,H是D的孩子节点
  • 兄弟节点:具有相同父节点的节点互称为兄弟节点; 如上图:B、C是兄弟节点
  • 树的度:一棵树中,最大的节点的度称为树的度; 如上图:树的度为6
  • 节点的层次:从根开始定义起,根为第1层,根的子节点为第2层,以此类推;
  • 树的高度或深度:树中节点的最大层次; 如上图:树的高度为4
  • 堂兄弟节点:双亲在同一层的节点互为堂兄弟;如上图:H、I互为兄弟节点
  • 节点的祖先:从根到该节点所经分支上的所有节点;如上图:A是所有节点的祖先;P的祖先是A、E、J
  • 子孙:以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图:所有节点都是A的子孙
  • 森林:由m(m>0)棵互不相交的树的集合称为森林;

1.2树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了,要存储表示起来就比较麻烦了,既然保存值域,也要保存结点和结点之间的关系。所以树的结构应该怎么定义呢?

//假设树的度为6
#define N 6
struct TreeNode
{int val;struct TreeNode* Child[N];
};

如果这样定义的话,不管你子树有没有孩子都开辟了空间,会比较浪费。

struct TreeNode
{int val;struct TreeNode** Child;//使用顺序表存储孩子int size;//当前个数int capacity;//容量
};

既然浪费了空间,那咱们就动态申请,有几个孩子由size决定,不够就扩容,但这种结构好像也不太好。

struct TreeNode
{int val;struct TreeNode* leftChile;//左孩子struct TreeNode* nextBrother;//右兄弟
};

左孩子右兄弟法:这种方法设计的非常巧妙,每个节点只记录它左边第一个孩子,其它孩子是第一个孩子的兄弟,由第一个孩子记录。这种方法好像看起来是最好的
在这里插入图片描述

2.二叉树

2.1概念

二叉树是从树衍生出来的。
那什么叫二叉树呢?
二叉树:首先它是一棵树,其次它每个节点最多有两个分支;并且对两个分支进行区分,分别叫做左子树和右子树。如下图
在这里插入图片描述
从上图可以看出:

  1. 二叉树不存在度大于2的结点
  2. 二叉树的子树有左右之分,次序不能颠倒,因此二叉树是有序树

注意:对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的:
在这里插入图片描述

2.2特殊二叉树

  1. 满二叉树

满二叉树:一个二叉树,如果每一个层的结点数都达到最大值,则这个二叉树就是满二叉树。
满二叉树的前n-1层全是满的(度为2),叶子全在最后一层
如果一个二叉树的层数为K,且结点总数是2k-1,则这个二叉树就是满二叉树。

在这里插入图片描述

  1. 完全二叉树

完全二叉树跟满二叉树的区别是:完全二叉树的前n-1层也都是满的,最后一层不一定满,但是要求从左到右的节点连续,不能空。(没有左孩子就不能有右孩子)

在这里插入图片描述

2.3二叉树的存储

二叉树一般可以使用两种结构存储,一种顺序结构,一种链式结构。

  1. 顺序存储

顺序结构存储就是使用数组来存储,一般使用数组只适合表示完全二叉树,因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储。二叉树顺序存储在物理上是一个数组,在逻辑上是一颗二叉树
在这里插入图片描述
使用顺序存储存在一个规律

  • leftChild = parent*2+1  

    • 例:C的左孩子的下标为2 * 2+1 = 5
  • rightChild = parent*2+2

    • 例:C的右孩子的下标为2 * 2+2 = 6
  • parent = (Child - 1) / 2  

    • 例:F的父亲下标为(5-1)/ 2 = 2     G的父亲下标为(6-1)/ 2 = 2
  • 有了这个规律我就不需要存储我的孩子或父亲在哪里,我使用下标算就可以了。

  1. 链式存储

二叉树的链式存储结构是指,用链表来表示一棵二叉树,即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是链表中每个结点由三个域组成,数据域和左右指针域,左右指针分别 用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址,链式结构又分为二叉链和三叉链, 。
该结构一般用来存储非完全二叉树,不会有空间的浪费。
在这里插入图片描述

3.堆

  • 普通的二叉树是不适合用数组来存储的,因为可能会存在大量的空间浪费。
  • 完全二叉树更适合使用顺序结构存储。现实中我们通常把堆(一种二叉树)使用顺序结构的数组来存储

堆:

  1. 堆是一棵完全二叉树。
  2. 小堆:任何一个父亲 <= 孩子
  3. 大堆:任何一个父亲 >= 孩子
  4. 根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆

在这里插入图片描述
使用堆这种数据结构有什么好处呢?

TopK问题(找最值),最值就在根上。

3.1堆的插入(向上调整)

假设已存在一个堆,现需向堆中插入元素5。
在这里插入图片描述

void Swap(HeapDataType* x, HeapDataType* y)
{HeapDataType tmp = *x;*x = *y;*y = tmp;
}void AdjustUp(HeapDataType* a, int child)
{int parent = (child - 1) / 2;//while(parent >= 0)while (child){//孩子小于父亲if (a[child] < a[parent]){//交换Swap(&a[child], &a[parent]);//改变下标child = parent;//继续找父亲parent = (child - 1) / 2;}else{break;}}
}// 堆的插入
void HeapPush(Heap* php, HeapDataType x)
{assert(php);//扩容if (php->size == php->capacity){int newcapacity = php->capacity == 0 ? 4 : 2 * php->capacity;HeapDataType* tmp = (HeapDataType*)realloc(php->a, sizeof(HeapDataType)*newcapacity);if (tmp == NULL){perror("realloc");return;}php->a = tmp;php->capacity = newcapacity;}//将数据先插入到堆中php->a[php->size] = x;php->size++;//插入后向上调整,使其仍然是堆//开始调整的位置为数组末尾位置:size-1AdjustUp(php->a, php->size - 1);
}

思考:如何让一个数组变成堆?

将数组的值插入堆中即可

int main()
{Heap* heap = HeapCreate();int arr[] = { 1,4,7,3,9,10 };for (int i = 0; i < sizeof(arr)/sizeof(int); i++){HeapPush(heap, arr[i]);}HeapDestroy(heap);return 0;
}

3.2堆的删除(向下调整)

在这里插入图片描述

void AdjustDown(HeapDataType* a, int n, int parent)
{int child = parent * 2 + 1;while (child < n)//有左孩子就继续{//找小的孩子//若右孩子存在 且 右孩子小于左孩子,右孩子是小孩子if (child+1 < n && a[child+1] < a[child]){child++;}//小孩子小于父亲,交换if (a[child] < a[parent]){Swap(&a[child], &a[parent]);parent = child;child = parent * 2 + 1;}else{break;}}
}// 堆的删除
void HeapPop(Heap* php)
{assert(php);assert(php->size);Swap(&php->a[0], &php->a[php->size - 1]);//交换php->size--;//删除数组尾位置AdjustDown(php->a, php->size, 0);
}

由于向下调整法最多调整高度次,那么它的时间复杂度是O(logN)

3.3堆的创建

下面我们给出一个数组,这个数组逻辑上可以看做一颗完全二叉树,但是还不是一个堆,现在我们通过算法,把它构建成一个堆。根节点左右子树不是堆,我们怎么调整呢?

3.3.1使用向上调整

从数组的第二个元素开始,使其按照小堆/大堆的规则调整成堆
在这里插入图片描述

void HeapCreat(Heap* php, HeapDataType* a, int n)
{assert(php);php->a = (HeapDataType*)malloc(sizeof(HeapDataType) * n);//申请和数组同样大的空间if (php->a == NULL){perror("malloc fail");return;}memcpy(php->a, a, sizeof(HeapDataType) * n);//将数组中的元素拷贝进堆php->size = n;php->capacity = n;//向上调整,使其成堆for (int i = 1; i < n; i++){AdjustUp(php->a, i);}
}

3.3.2使用向下调整

用向下调整法,我们从倒数的第一个非叶子节点的子树开始调整,一直调整到根节点的树,就可以调整成堆。
其实本质上就是:从下往上,将根的每个子树调整成堆
在这里插入图片描述
由于最后一个元素的下标为n-1,所以它的父亲应该是:(其下标-1)/2,也就是(n-1-1)/2。

void HeapCreat(Heap* php, HeapDataType* a, int n)
{assert(php);php->a = (HeapDataType*)malloc(sizeof(HeapDataType) * n);//申请和数组同样大的空间if (php->a == NULL){perror("malloc fail");return;}memcpy(php->a, a, sizeof(HeapDataType) * n);//将数组中的元素拷贝进堆php->size = n;php->capacity = n;//向下调整,使其成堆for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--){AdjustDown(php->a, n, i);}
}

3.3.3两种建堆方式的比较

  1. 树的高度与节点个数的关系

在这里插入图片描述

  1. 向上调整法建堆时间复杂度的分析

在这里插入图片描述

因此,向上调整建堆的时间复杂度为:O(N*log2N)

  1. 向下调整法建堆时间复杂度的分析

在这里插入图片描述

因此,向下调整建堆的时间复杂度为:O(N)

O(N*log2N) 与O(N)看来两种方法的效率差别还是挺大的。为什么差别这么大呢?
在这里插入图片描述

3.4堆排序

堆排序即利用堆的思想来进行排序,总共分为两个步骤:

  1. 建堆
    升序:建大堆
    降序:建小堆

  2. 利用堆删除思想来进行排序
    首位交换
    最后一个值不看做堆里面的,向下调整选出次大的数据

在这里插入图片描述

#include<stdio.h>
void _Swap(int* a, int* b)
{int tmp = *a;*a = *b;*b = tmp;
}void _AdjustDown(int* a, int n, int parent)
{int child = parent * 2 + 1;while (child < n){//右孩子存在,且大于左孩子if (child + 1 < n && a[child + 1] > a[child]){child++;}//孩子大于父亲,交换if (a[child] > a[parent]){_Swap(&a[child], &a[parent]);parent = child;child = parent * 2 + 1;}else{break;//孩子不大于父亲,调整结束}}
}int main()
{int arr[] = { 3,1,9,18,22,16 };int sz = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);//向下调整建堆for (int i = (sz - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--){_AdjustDown(arr, sz, i);}int end = sz - 1;while (end > 0){_Swap(&arr[0], &arr[end]);//首位交换_AdjustDown(arr, end, 0);end--;}for (int i = 0; i < sz; i++){printf("%d ", arr[i]);}return 0;
}

在这里插入图片描述
所以堆排序的时间复杂度是:建堆O(N)+每个节点需要调整的次数(N-1)* logN 。 该排序的时间复杂度最终为:N*logN

3.5TopK问题

TOP-K问题:即求数据中前K个最大的元素或者最小的元素,一般情况下数据量都比较大。比如:专业前10名、世界500强、富豪榜、游戏中前100的活跃玩家等。
对于Top-K问题,能想到的最简单直接的方式就是排序,但是:如果数据量非常大,排序就不太可取了(可能数据都不能一下子全部加载到内存中)。最佳的方式就是用堆来解决,基本思路如下:

  1. 用数据集合中前K个元素来建堆
    k个最大的元素,则建小堆
    k个最小的元素,则建大堆
  2. 用剩余的N-K个元素依次与堆顶元素来比较,不满足则替换堆顶元素
  3. 将剩余N-K个元素依次与堆顶元素比完之后,堆中剩余的K个元素就是所求的前K个最小或者最大的元素。
void TopK(int k)
{FILE* fp = fopen("data.txt", "r");if (fp == NULL){return;}int* heap = (int*)malloc(sizeof(int) * k);if (heap == NULL){perror("malloc fail");return;}//先读取k个数据for (int i = 0; i < k; i++){fscanf(fp, "%d", &heap[i]);}//根据k个数据建小堆for (int i = (k - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--){_AdjustDown(heap, k, i);}int num = 0;while (fscanf(fp, "%d", &num) != EOF){//读取堆顶数据,比它大就替换它,进堆if (num > heap[0]){heap[0] = num;_AdjustDown(heap, k, 0);}}for (int i = 0; i < k; i++){printf("%d ", heap[i]);}fclose(fp);
}

本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处:http://www.luyixian.cn/news_show_1007107.aspx

如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请联系dt猫网进行投诉反馈email:809451989@qq.com,一经查实,立即删除!

相关文章

数据通信练习题

1.0osi七层模型 应用层 data 表示层 会话层 传输层 数据段 防火墙&#xff0c;端口&#xff08;TCP UDP&#xff09; 网络层 数据包 路由器 数据链路层 数据帧 交换机 物理层 比特流 网卡 2.IP地址分类 私有地址 A类 0--127 10.0.0.0…

基于HarmonyOS ArkTS中秋国庆祝福程序、以代码之名,写阖家团圆祝福

中秋、国庆双节将至&#xff0c;作为程序员&#xff0c;以代码之名&#xff0c;表达对于阖家团圆的祝福。本节将演示如何在基于HarmonyOS ArkUI的SwiperController、Image、Swiper等组件来实现节日祝福轮播程序。 规则要求具体要求如下&#xff1a; 1、根据主题&#xff0c;用…

计算机网络——OSI网络层次模型

计算机网络——OSI网络层次模型 应用层表示层会话层传输层TCP和UDP协议复用分用 网络层数据链路层物理层OSI网络层次模型中的硬件设备MAC地址和IP地址MAC地址IP地址MAC地址和IP地址区别 OSI网络层次模型通信过程解释端到端点到点端到端和点到点的区别 我们之前简单介绍了一下网…

LLM推理框架Triton Inference Server学习笔记(一): Triton Inference Server整体架构初识

官方文档查阅: TritonInferenceServer文档 1. 写在前面 这篇文章开始进行大语言模型(Large Language Model, LLM)的学习笔记整理&#xff0c;这次想从Triton Inference Server框架开始&#xff0c;因为最近工作上用到了一些大模型部署方面的知识&#xff0c; 所以就快速补充了…

华为ce12800交换机m-lag(V-STP模式)配置举例

配置## 标题思路 采用如下的思路配置M-LAG双归接入IP网络&#xff1a; 1.在Switch上配置上行接口绑定在一个Eth-Trunk中。 2.分别在SwitchA和SwitchB上配置V-STP、DFS Group、peer-link和M-LAG接口。 3.分别在SwitchA和SwitchB上配置LACP M-LAG的系统优先级、系统ID。 4.分别在…

外包干了20天,技术退步明显......

先说一下自己的情况&#xff0c;本科生&#xff0c;19年通过校招进入广州某软件公司&#xff0c;干了接近4年的功能测试&#xff0c;今年年初&#xff0c;感觉自己不能够在这样下去了&#xff0c;长时间呆在一个舒适的环境会让一个人堕落!而我已经在一个企业干了四年的功能测试…

数据库(SQL sever)

本博客将主要讲述数据库&#xff08;SQL sever&#xff09; 1.数据库解决的数据问题&#xff1a; Data redundancy and inconsistency(数据冗余和不一致) Difficulty in accessing data Data isolation (数据孤立) Integrity problems (完整性问题) Atomicity of updates…

bug - poi getMergedRegion合并后的行列number错误

第一个CellRangeAddress 的Row number 应该是0&#xff0c;但是给出的是1。 其它的CellRangeAddress 与实际大致相差4-5不等&#xff0c;没有规律。 <dependency><groupId>org.apache.poi</groupId><artifactId>poi</artifactId><version>…

自动从Android上拉取指定文件

需求场景 利用Mac中的脚本编辑器实现从连接的Android设备中获取指定的文件。 环境 macOS Monterey 版本 12.7.1脚本编辑器adb环境&#xff08;如果没有的话&#xff0c;可以网上搜下Mac配置adb&#xff09; 实现方案 1、打开脚本编辑器&#xff1b; 2、新建一个脚本文件&…

Python办公自动化之PDF(二)

Python操作PDF二 1、PyMuPDF简介2、 1、PyMuPDF简介 PyMuPDF&#xff08;也称Fitz&#xff09;开源&#xff0c;提供了一整套用于处理PDF文件的综合工具。使用PyMuPDF&#xff0c;用户可以高效地执行打开PDF、提取文本、图像和表格、操作旋转和裁剪等页面属性、创建新PDF文档以…

剑指offer面试题34:在二叉树中和为某一值的路径

面试题34&#xff1a;在二叉树中和为某一值的路径 题目&#xff1a; LCR 153. 二叉树中和为目标值的路径 - 力扣&#xff08;LeetCode&#xff09; 给你二叉树的根节点 root 和一个整数目标和 targetSum &#xff0c;找出所有 从根节点到叶子节点 路径总和等于给定目标和的路…

格子表单GRID-FORM | 必填项检验 BUG 修复实录

格子表单/GRID-FORM已在Github 开源&#xff0c;如能帮到您麻烦给个星&#x1f91d; GRID-FORM 系列文章 基于 VUE3 可视化低代码表单设计器嵌套表单与自定义脚本交互文档网站搭建&#xff08;VitePress&#xff09;与部署&#xff08;Github Pages&#xff09;必填项检验 BUG…

新版Android Studio火烈鸟 在新建项目工程时 无法选java的语言模板解决方法

前言 最近下载最新版androidstudio时 发现不能勾选java语言模板了 如果快速点击下一步 新建项目 默认是kotlin语言模板 这可能和google主推kt语言有关 勾选1 如图所示 如果勾选 No Activity 这个模板 是可以选java语言模板的 但是里面没有默认的Activity 勾选2 和以前的用法…

CubeMX使用教程(5)——定时器PWM输出

本篇我们将利用CubeMX产生频率固定、占空比可调的两路PWM信号输出 例如PA6引脚输出100Hz的PWM&#xff1b;PA7引脚输出500Hz的PWM&#xff0c;双路同时输出 我们还是利用上一章定时器中断的工程进行学习&#xff0c;这样比较方便 首先打开CubeMX对PA6、PA7进行GPIO配置 注&a…

spring 面试题

1.springboot自动装配 从 这个META-INF/spring-autoconfigure-metadata.properties加载文件 2.springbean 的生命周期 3.spring 如何解绝循环依赖 private final Map<String, Object> earlySingletonObjects new ConcurrentHashMap<>(16); private final Map&l…

【ArcGIS】栅格数据进行标准化(归一化)处理

栅格数据进行标准化&#xff08;归一化&#xff09;处理 方法1&#xff1a;栅格计算器方法2&#xff1a;模糊分析参考 栅格数据进行标准化(归一化)处理 方法1&#xff1a;栅格计算器 栅格计算器&#xff08;Raster Calculator&#xff09; 计算完毕后&#xff0c;得到归一化…

【Python使用】python高级进阶知识md总结第2篇:HTTP 请求报文,HTTP响应报文【附代码文档】

python高级进阶全知识知识笔记总结完整教程&#xff08;附代码资料&#xff09;主要内容讲述&#xff1a;操作系统&#xff0c;虚拟机软件&#xff0c;Ubuntu操作系统&#xff0c;Linux内核及发行版&#xff0c;查看目录命令&#xff0c;切换目录命令&#xff0c;绝对路径和相对…

Python环境搭建 -- Python与PyCharm安装

一、Python安装 我们先找到Python的官方网站&#xff0c;在浏览器中搜索Python即可&#xff0c;然后进入Python官网 点击Downloads&#xff0c;选择对应匹配的操作系统 点进去之后&#xff0c;Python的版本分为稳定的版本和前置版本&#xff0c;前置的版本就是还没有发行的版本…

【深入理解设计模式】模板方法模式

模板方法模式 模板方法模式是一种行为设计模式,它定义了一个操作中的算法骨架,将某些步骤延迟到子类中实现。模板方法模式使得子类可以不改变算法结构的情况下,重新定义算法的某些特定步骤。 概述 在面向对象程序设计过程中&#xff0c;程序员常常会遇到这种情况&#xff1a;…

在【IntelliJ IDEA】中配置【Tomcat】【2023版】【中文】【图文详解】

作为一款功能强大的集成开发环境&#xff08;IDE&#xff09;&#xff0c;IntelliJ IDEA为Web服务器提供了卓越的支持&#xff0c;从而极大地简化了程序员在Web开发过程中的工作流程。学习Java Web开发实质上就是掌握如何创造动态Web资源&#xff0c;这些资源在完成开发后&…