无穷级数

定义

一般的，如果给定一个数列$u_1,u_2,u_3,...u_n,...,$，那么由这个梳理构成的表达式$u_1+u_2+u_3+...+u_n+...$叫做(常数项)无穷级数，简称(常数项)级数，记作$\sum _{i=1}^{\infty }{u}_i$，其中第n项叫做级数的一般项。取前n项求和，得到$s_n=\sum _{i=1}^n{u}_n$，叫做级数的部分和。
如果级数$\sum _{i=1}^{\infty }{u}_i$的部分和数列{sn}\{s_n\}{sn​}有极限$s$，称无穷级数$\sum _{i=1}^{\infty }{u}_i$收敛，这时s叫做级数的和。如果{sn}\{s_n\}{sn​}不收敛，则称无穷级数$\sum _{i=1}^{\infty }{u}_i$发散。
当级数收敛时$r_n=s-s_n$叫做级数的余项。

性质

1. 性质1：如果级数$\sum _{i=1}^{\infty }{u}_i$收敛于和s，那么级数$\sum _{i=1}^{\infty }k{u}_i$收敛于$ks$.
   证明：设$\sum _{i=1}^{\infty }{u}_i$与$\sum _{i=1}^{\infty }k{u}_i$的部分和分别是$s_n$和${\sigma }_n$，根据定义，有$\underset{n\to \infty }{\lim }{s}_n=s$，${\sigma }_n=k{u}_1+k_{u}2+....=k(u_1+u_2+...)=k{s}_n$，$\therefore \underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^{\infty }k{u}_i=ks$
   推论：级数的每一项乘以一个不为零的常数(可以不同)之后，级数的收敛性不变。(证明可以通过定义和夹逼定理，取常数中的最大值和最小值进行逼近)。
2. 性质2：如果级数$\sum _{i=1}^{\infty }{u}_i$和$\sum _{i=1}^{\infty }{v}_i$分别收敛于$s$和$\sigma$，则级数$\sum _{i=1}^{\infty }(u_i\pm v_i)$收敛于$s\pm \sigma$. 根据定义，结合极限的性质，容易证明。
3. 性质3：在级数中增加、减少或者改变有限项，不会改变级数的收敛性。
4. 性质4：如果级数收敛，那么对这个级数的任意项加括号之后组成的新级数，仍然收敛，且其和不变。(加括号之后收敛，之前不一定收敛，比如(1±1),(1±1))
5. 性质5：级数收敛的必要条件：如果级数$\sum _{i=n}^{\infty }{u}_n$收敛，那么它的一般项$u_n$趋于0.
   证明：设级数的部分和为$s_n$，则$\underset{n\to \infty }{\lim }{s}_n=s$,$\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }{s}_n-\underset{n\to \infty }{\lim }{s}_{n-1}=s-s=0$

问题：讨论级数$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n=\sum _{n=1}^{\infty }{n}^{\alpha }$何时收敛。
当$\alpha \ge 0$，$u_n>1$，此时，部分和$s_n$发散，此时级数必然发散。
当$\alpha <-1$，$|u_{n+1}+u_{n+2}+...u_{n+p}|=|(n+1{)}^{\alpha }+(n+2{)}^{\alpha }+...+(n+p{)}^{\alpha }|<|p(n+1{)}^{\alpha }|$，根据柯西审敛定理，对于任意小的正数$ϵ$,都有$|p(n+1{)}^{\alpha }|<ϵ$，只需要$n>(\frac{ϵ}{p}{)}^{\frac{1}{\alpha }}-1$
当$\alpha =-1时$，级数发散；
当$\alpha \in (-1,0)$，其每一项都比$\alpha =-1$时要大，故发散。

6. 柯西审敛定理
   级数$\sum _{i=1}^{\infty }{u}_i$收敛的充分必要条件是对于任意给定的正整数$ϵ$，总存在正整数N，使得当$n>N$时，对于任意正整数p都有
   $$|\sum _{i=1}^p{u}_{n+i}|<ϵ$$

正项级数审敛法

1. 定理1：正项级数$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛的充分必要条件是，它的部分和数列{s_n}有界。注意是正项级数。
2. 定理2：比较审敛法：
   设级数$\sum _{i=n}^{\infty }{u}_n$和$\sum _{i=n}^{\infty }{v}_n$都是正项级数，且$u_n\le v_n(n=1,2,...)$，若级数$\sum _{i=n}^{\infty }{v}_n$收敛，则级数$\sum _{i=n}^{\infty }{u}_n$也收敛；若$\sum _{i=n}^{\infty }{u}_n$发散，则$\sum _{i=n}^{\infty }{v}_n$也发散。
3. 定理3：比较审敛法的极限形式
   设级数$\sum _{i=n}^{\infty }{u}_n$和$\sum _{i=n}^{\infty }{v}_n$都是正项级数，
   (1)如果$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{u_n}{v_n}=l(0\le l<+\infty )$，且级数$\sum _{i=n}^{\infty }{v}_n$收敛，那么级数$\sum _{i=n}^{\infty }{u}_n$也收敛；
   (2)如果$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{u_n}{v_n}=l(l>0)$，且级数$\sum _{i=n}^{\infty }{v}_n$发散，那么级数$\sum _{i=n}^{\infty }{u}_n$也发散；
   这个定理的一个直观理解是，如果对于级数的每一项，$u_n$和$v_n$是同阶或者更高阶，无穷小。$\sum _{i=n}^{\infty }{v}_n收敛⟹\sum _{i=n}^{\infty }{u}_n收敛$
4. 定理4:比值审敛法，达朗贝尔判别法：设级数$\sum _{i=n}^{\infty }{u}_n$是正项级数，如果
   $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{u_n}{u_{n-1}}=\rho$，当$\rho <1$时，级数收敛；当$\rho >1$时，级数发散；当$\rho =1$时，级数可能收敛也可能发散；
   这个定理的一个直观理解，如果当$n\to \infty$时，$u_n$趋于等比数列，则其收敛性和等比数列类似。
5. 定理5：根式审敛法，柯西判别法
   设级数$\sum _{i=n}^{\infty }{u}_n$为正项级数，如果$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{u_n}=\rho$，当$\rho <1$时，级数收敛；当$\rho >1$时，级数发散；当$\rho =1$时，级数可能收敛也可能发散；
   证明：因为$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{u_n}=\rho$，设当n>N时，对于任意n都有$\sqrt[n]{u_n}<\rho +ϵ<1$，所以，当n>N时，总有$u_n<(\rho +ϵ{)}^n$，后者是个公比为$\rho +ϵ$的等比数列，公比小于1,根据比较审敛法，级数$\sum _{i=n}^{\infty }{u}_n$收敛。
6. 定理6：极限审敛法：
   若级数$\sum _{i=n}^{\infty }{u}_n$为正项级数，
   (1)若$\underset{n\to \infty }{\lim }n{u}_n=l(l>0)$，则级数$\sum _{i=n}^{\infty }{u}_n$发散；
   (2)若$\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^p{u}_n=l(l\in [0,\infty ),p>1)$，则级数$\sum _{i=n}^{\infty }{u}_n$收敛；
   说明$u_n$是$\frac{1}{n^p}$的同阶无穷小，具有相同的收敛性；

交错级数审敛法

交错级数：各项是正负相间的。

1. 定理7：莱布尼茨定理
   若交错级数$\sum _{i=n}^{\infty }(-1{)}^{n-1}{u}_n$满足条件
   (1) $u_n\ge un+1(n=1,2,3,...)$，
   (2)$\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=0$，
   那么级数收敛，且其和小于$s_n\le u_1$，余项$|r_n|\le u_{n+1}$
   绝对收敛与条件收敛：
   若级数$\sum _{i=n}^{\infty }{u}_n$各项绝对值构成的级数$\sum _{i=n}^{\infty }|u_n|$收敛，则成为绝对收敛，$\sum _{i=n}^{\infty }{u}_n$收敛而$\sum _{i=n}^{\infty }|u_n|$不收敛，称为条件收敛。
2. 定理10：绝对收敛级数的乘法：
   设级数$\sum _{i=n}^{\infty }{u}_n$和$\sum _{i=n}^{\infty }{v}_n$都绝对收敛，其和分别为$s$和$\sigma$，则他们的柯西乘积$u_1{v}_1+(u_1{v}_2+u_2{v}_1)+...\sum _{i=1}^n{u}_1{v}_{n-1}+...$也绝对收敛，其和为$s\sigma$.

幂级数

如果给定一个在区间I上的函数列，$u_1(x),u_2(x),...,u_n(x),...$，那么由这个函数列构成的表达式$f(x)=u_1(x)+u_2(x)+...+u_n(x)+...$，称为定义在区间I上的(函数项)无穷级数，简称(函数项)级数。对于每个确定的值$x_0\in I$，级数$f(x_0)$可能收敛也可能发散，如果收敛，就称$x_0$是级数的收敛点，否则称为发散点，收敛点的全体称为收敛域，发散点的全体，称为发散域。对于收敛域内的一点x,函数项级数称为一个收敛的常数项级数，因而有一组确定的和s,这样在收敛域上，函数项级数的和是x的函数$s(x)$，通常称为函数项级数的和函数。

幂级数及其收敛性

幂级数：函数项级数中常见的一类是每一项都是常数和幂函数相乘的形式，即所谓幂级数，它的形式是
$$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+...+a_n{x}^n+...$$

1. 定理1：阿贝尔定理：
   如果级数$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$在$x_0(x_0\ne 0)$收敛，则对于所有$|x|<|x_0|$的所有点，都收敛。反之，如果级数在$x_0$处发散，对于所有$|x|>|x_0|$，级数都发散。
2. 定理2：如果$$\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\rho$$其中$a_n,a_{n+1}$是相邻两项的系数，则级数收敛域：
   $$R=\{\begin{array}{l}\begin{array}{rlr}& \frac{1}{\rho }& \rho \ne 0\\ & +\infty & \rho =0\\ & 0& \rho =+\infty \end{array}\end{array}$$
   问题：在收敛域内的意义是明确的，可以使用无穷级数来逼近和函数。如果不在收敛域内，则完全不能逼近？如果是个低阶无穷大，有意义吗？

幂级数运算的性质

幂级数$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$和$\sum _{n=0}^{\infty }{b}_n{x}^n$分别在区间$(-R,R)$和$(-R^{\prime },R^{\prime })$上收敛，则二者加和、差、柯西乘积都收敛，收敛域取两者较小的集合。但是两者相除可能会比原来的收敛域小的多。

1. 性质1：幂级数$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$在其收敛域I上连续。
2. 性质2: 幂级数$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$在其收敛域I上可积，并有逐项积分公式：
   $$\begin{array}{rl}{\int }_0^{x}s(t)dt& ={\int }_0^x[\sum _0^{\infty }{a}_n{t}^n]dt\\ & =\sum _0^{\infty }{\int }_0^x{a}_n{t}^{n}dt\\ & =\sum _0^{\infty }\frac{a_n}{n+1}{x}^{n+1}(x\in I)\end{array}$$
   逐项积分后所得幂级数和原级数具有相同的收敛半径。
3. 性质3：幂级数$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$在其收敛区间$(-R,R)$逐项可导，且有逐项求导公式，
   $$s^{\prime }(x)={\left(\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n\right)}^{\prime }=\sum _{n=0}^{\infty }n{a}_n{x}^{n-1}(|x|<R)$$
4. 看性质2和性质3，常数项里不是多了个n吗？(一个是1/(n+1)，一个n)为什么还会说收敛半径不变呢？参照定理2，看逐项积分的情况。逐项积分后的级数为$\sum _{n=0}^{\infty }n{a}_n{x}^{n-1}$，其常数项$b_n=\frac{a_n}{n+1}$，$$\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{b_{n+1}}{b_n}\right|=\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\cdot \frac{n}{n+1}\right|=\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\rho$$故两者具有相同的收敛半径。
   常数项级数如果单项乘以n或者除以n就有可能会导致收敛性改变，为什么函数项级数不会有这个问题？例如对于常数项级数$\sum _n^{\infty }{u}_n=\sum _n^{\infty }\frac{1}{n^2}$是收敛的，但是$\sum _n^{\infty }{u}_{n}n=\sum _n^{\infty }\frac{1}{n}$发散，但是$\sum _n^{\infty }{u}_n(x)=\sum _n^{\infty }\frac{x}{n^2}$收敛域是$[-1,1]$，$\sum _n^{\infty }{u}_n(x)n=\sum _n^{\infty }\frac{nx}{n^2}$收敛域是[-1,1)，收敛半径看似没变，只是少了一个收敛点。乘以多项式是不会改变收敛半径的，增加什么样的n的变量会改变x的收敛半径呢？也容易看到，比如$a^n$，会把收敛域变成原来的$1/a$.

函数展开成幂级数

假设$f(x)$能展开成如下幂级数形式
$$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n(x-x_0)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0{)}^2+...+...$$
则有$f(x)$在$U(x_0)$内具有任意阶导数，且
$$f^{(n)}(x)=n!a_n+\sum _{k=n+1}^{\infty }\frac{k!}{(k-n)!}{a}_k(x-x_0{)}^{k-n}$$
在$x=x_0$处，后面的求和项为0， 故$$a_n=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}$$
这叫做函数$f(x)$在$x_0$处的泰勒级数。

傅里叶级数

如何研究非正弦周期函数呢？，可以将周期为$T=2\pi /\omega$的周期函数用一系列以T为周期的正弦函数来表示，记作
$$f(t)=A_0+\sum _{n=1}^{\infty }{A}_{n}sin(n\omega t+{\phi }_n)$$
可以再做变形得到，
$$f(t)=A_0+\sum _{n=1}^{\infty }{A}_{n}sin(n\omega t)cos\phi +A_{n}cos(n\omega t)sin\phi$$
进行变量替换
$$\frac{a_0}{2}=A_0,a_n=A_{n}sin\phi ,b_n=A_{n}cos\phi ,\frac{2\pi }{2l}=\omega (T=2l)$$
得到
$$f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n}cos(\frac{n\pi t}{l})+b_{n}sin(\frac{n\pi t}{l})$$
令
$$x=\frac{\pi t}{l}$$
这样就把以2l为周期的函数变换成了以$2\pi$为周期的函数，研究起来方便。当然，研究$2l$为周期的函数也是没有问题的。

1. 三角函数的正交性：三角函数系在$[-l,l]$上正交(即任意两个不同三角函数乘积的积分为0)，其中$2l(l=\pi /\omega )$是基波周期。
   如$1,sin\omega x,cosk\omega x....$
   举个例子:
   $$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& s={\int }_{-l}^l\sin p\omega t\sin q\omega tdt\\ =& {\int }_{-l}^l\cos (p-q)\omega t-\sin (p+q)\omega tdt\end{array} \\ 若p\ne q，则有 \\ s={\frac{1}{(p-q)\omega }\sin (p-q)\omega t|}_{-l}^l+{\frac{1}{(p+q)\omega }\cos (p+q)\omega t|}_{-l}^l=0若p=q，则有 \\ s={\int }_{-l}^{l}dt=2l \end{gathered}$$
2. 函数展开成傅里叶级数
   设$f(x)$是以$2\pi$为周期的函数，且能展开成三角函数
   $$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\cos nx+b_n\sin nx$$那么改怎么求取各个系数呢？
   先求$a_0$，两边同时在$[-\pi ,\pi ]$上积分得到
   $${\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)dx={\int }_{-\pi }^{\pi }\frac{a_0}{2}dx+{\int }_{-\pi }^{\pi }\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos nx+b_n\sin nx)dx$$根据三角函数的正交性可知，等式右边积分的第二项为0，故
   $$a_0=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)dx$$
   为了求取$a_n$，等式两边同时乘以$\cos nx$，并在$[-\pi ,\pi ]$上进行积分，得到
   $$\begin{array}{rl}& {\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx\\ =& {\int }_{-\pi }^{\pi }\frac{a_0}{2}\cos nxdx+{\int }_{-\pi }^{\pi }\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos nx+b_n\sin nx)\cos nxdx\\ =& {\int }_{-\pi }^{\pi }{a}_n{\cos }^{2}nxdx\\ =& {\int }_{-\pi }^{\pi }\frac{a_n}{2}dx\\ =& \pi a_n\\ ⟹a_n=& \frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx\\ 同理，b_n=& \frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx\end{array}$$
3. 三角级数收敛定理(狄利克雷充分条件):
   设$f(x)$是周期为$2\pi$的周期函数，如果它满足：
   (1)在一个周期内连续，或者只有有限个第一类间断点；
   (2)在一个周期内至多只有有限个极值点；
   那么f(x)的傅里叶级数收敛，并且：
   当x是$f(x)$的连续点时，级数收敛于$f(x)$；
   当x是$f(x)$的间断点时，级数收敛于$1/2(f(x^{-})+f(x^{+}))$
4. 一般周期函数的傅里叶级数
   设一般周期函数具有周期$T=2l$，则可以写成傅里叶级数
   $$\begin{gathered} f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\cos \frac{n\pi }{l}x+b_n\sin \frac{n\pi }{l}x \\ {a}_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\cos \frac{n\pi }{l}xdx \\ {b}_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\sin \frac{n\pi }{l}xdx \end{gathered}$$
5. 傅里叶级数的复数形式
   周期为$2l$的函数的傅里叶变换
   $$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\cos \frac{n\pi }{l}x+b_n\sin \frac{n\pi }{l}x$$
   根据欧拉公式
   $$\cos x=\frac{e^{xi}+e^{-xi}}{2},\sin x=-\frac{e^{xi}-e^{-xi}}{2}i$$
   带入上式得到
   $$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\frac{a_n-b_{n}i}{2}{e}^{\frac{n\pi xi}{l}}+\frac{a_n+b_{n}i}{2}{e}^{-\frac{n\pi xi}{l}}$$
   令$c_n=\frac{a_n-b_{n}i}{2},d_n=\frac{a_n+b_{n}i}{2}$，则对两边同时乘一个量，同时做积分，根据虚指数函数的正交性
   $$\begin{array}{rl}& {\int }_{-l}^{l}f(x)e^{-\frac{n\pi xi}{l}}dx\\ =& {\int }_{-l}^l\frac{a_0}{2}{e}^{-\frac{n\pi xi}{l}}dx+{\int }_{-l}^l\left(\sum _{n=1}^{\infty }\frac{a_n-b_{n}i}{2}{e}^{\frac{n\pi xi}{l}}+\frac{a_n+b_{n}i}{2}{e}^{-\frac{n\pi xi}{l}}\right)e^{-\frac{n\pi xi}{l}}dx\\ =& {\int }_{-l}^l{c}_{n}dx\\ =& 2l{c}_n\\ ⟹c_n=& \frac{1}{2l}{\int }_{-l}^{l}f(x)e^{-\frac{n\pi xi}{l}}dx\\ 类似d_n=& \frac{1}{2l}{\int }_{-l}^{l}f(x)e^{-\frac{n\pi xi}{l}}dx\\ 合并可得& \\ f(x)=\sum _{-\infty }^{\infty }{c}_n{e}^{\frac{n\pi xi}{l}}& \\ 其中c_n={\int }_{-l}^{l}f(x)e^{-\frac{n\pi xi}{l}}dx& \end{array}$$
   能不能直接通过指数表达式展开成指数形式，而不通过三角级数间接转换？