文字对称中的数学与魔术（二）——英文字母到单词的对称性

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在上一篇文章中，我们引入了语言文字对称性这个领域，重点介绍了阿拉伯数字的对称性，相关内容请戳：

文字对称中的数学与魔术（一）——阿拉伯数字的对称性

今天我们接着介绍英文的对称性。

英文字母的对称性

其实世界上很多字母文字的字母元素，都具有良好的对称性，那英文字母自然是其中最广泛使用的典型代表。因为英文字母存在大小写以及书写方式不同导致的区别。为了方便，我们仅仅区分明显的大小写的差别，对于不同字体的区别，我们只要能找到一种较通用字体是对称的，那我们就认其是对称的。这主要是为了简化问题，比如，t字母在一些字体里面是没有下面的弯钩，是左右对称的，甚至看成一个十字架也是上下和中心对称的，f在一些字体和手写体里，是中心对称的；而哪怕z，x这种正体看上去明显对称的字母，你换个花里胡哨的字体也能搞不对称了。

不绕弯子了，英文字母的对称性总结在下面的表中：

表1 英文字母对称性

	小写字母-中心对称	大写字母-中心对称	小写字母-左右轴对称	大写字母-左右轴对称	小写字母-上下轴对称	大写字母-上下轴对称
自身对称	f，l，o，s，t，x，z	H，I，N，O，S，X，Z	i，l，m，n，o，r，t，u，v，w，x	A，H，I，M，O，T，U，V，W，X，Y	B，C，D，E，H，I，K，O，X	c，l，o，x
互为对称	bq，dp，nu，	MW	pq		MW	bp，dq，nu，wM

注意凡是互为对称的两个图形，由于是组合，仅按字母序用一个排列来代表它，省略另一个。

说其中比较有趣的几个发现。其中b的上下轴对称结果是p，左右是d，再上下是q，也就是说整个4个字母合在一起可以构成一个D2，或者叫Klein-4群。要说这些字母在设计写法之初没有考虑过它们在种种操作下的关系，我是不信的。

其中部分字母是集中心，上下左右对称于一身的，这些大多符合D2群，小写的包括l，o，s，t，x，大写的仅有O，X，他们可谓是对称字母的集大成者了。而f，sS，zZ，N只是纯的中心对称，并没有两个轴对称性，仅是个旋转180度重合的C2群的对称。但神奇的是，这两个轴对称得到的图形却是一样的，是一个沿着两个不同方向镜像，甚至都不再是字母了。而它们之间差一个中心对称的180度旋转，而因为它是中心对称的，所以又了。而阿拉伯数字中，3则是左右轴对称和中心对称的结果一样，也都不是数字，自身却是上下轴对称的。这些微妙的区别和联系，都是图形背后的数学结构的结果。

n和u去看那个弯弯突出所在地的话，会发现他们严格来讲只是互为中心对称关系；忽略掉弯弯，也就是把其本身当成一个左右轴对称图形来看，那就也互为上下的轴对称了。其实忽略那个弯弯，n就是并集符号了，上下对称或中心对称就成了交集符号，这倒是和大写的U长得几乎一模一样了。m和w之间也是类似的关系，他们的大写的时候就是近似的同时中心和上下轴对称了（同样源于自身就是左右轴对称的），而大写的N变成了一个自身的中心对称图形，进入另一个世界了。

还有，a和e在书写体上是比较别扭的互为中心对称图形的，这在马丁加德纳先生关于文字对称的论述中数次提到。

英文单词的对称性

在研究字母和数字的对称时，和汉字稍有不同在于，我们比较在乎由其组合出来的单词或者进制数的整体对称性，汉字的也能研究，不过因为单个汉字的对称的已经比较多了，就相对没有这么重点；而数字的组合相对少，文化意义也不如字母。

那字母序列的对称性和单个字母之间的对称性是什么关系呢？其实这相当于把一系列本身存在对称性质的图形组合成新图形的过程，对称性如何保持甚至扩展，是有章可循的。我们分类来看，对字母序列Sn（默认指的都是水平空间排布的序列，其下一个关系，对应空间中的相对靠右），一共有以下几种：

序列的中心对称性：

要求Center(S_i) = S_(n + 1 - i)，对任意的1 <= i <= n成立。也就是，前后两两配对的字母要刚好互为中心对称图形。如果n长度为奇数，那么存在的正中间的图形则要求自身是一个中心对称图形。

序列的左右轴对称性：

要求axial(S_i) = S_(n + 1 - i)，对任意的1 <= i <= n成立。它和序列中心对称从群的角度来讲都是C2群，是一模一样的结构，只是具体的操作一个是轴对称，一个是旋转180度。故同样n为奇数时，正中间位置自身为轴对称图形，具有轴对称不变性。

回文序列（palindrome）：

S_i = S_(n + 1 - i)，对任意的1 <= i <= n成立。注意这里在图形上已经没有了镜像对称的效果，也不要求每个字母有任何的对称性，其镜像是在一个抽象序列符号上去满足的。比较典型的有比如，"Able was I ere I saw Elba"，"A man, a plan, a canal – Panama"，"Madam, I'm Adam" and "Never odd or even"。

序列的上下对称性：

horizantol_axial(S_i) = S_i，对任意的1 <= i <= n成立。这个对称性和单个字母的对称性相同，因为相当于把一串本身轴对称的字母让它们对称轴重合的方式组合成了新的图形。

如果是竖着写的文字，其实以上分析刚好有对偶的性质，对中心对称而言是对称的，完全相同；而水平文字的左右的轴对称对应竖着的上下轴对称，而且要求的字母也是上下轴对称；水平的上下的轴对称变成了竖着的左右的轴对称，每个字母同样满足左右轴对称；回文的话本质是序列对称，不涉及图形实体，故没有区别。

其实这些都是在正常书写范围之内的，如果把字体写得夸张一点，添加一些怪异的组合拼接，比如r + n = m这类奇怪的trick，几乎可以做到所有单词都有办法对称化的结局。在2020线上的马丁加德纳聚会的标志中，我第一次注意到了精美的艺术字设计：

图1 Martin Gardner中心对称图案设计

一开始觉得又美又奇怪，美是觉得形式比较规整，有特殊考虑，而奇怪是觉得，这些字母的形态看上去又都不太正常，仿佛刻意为之。直到我把手机倒转过来，发现了完全不变的结果时，我才意识到，原来真的有这样完美的中心对称的艺术单词设计的存在！

后来，在马丁加德纳全书的《跳棋游戏与非欧几何斯科特金对称作品》中，了解到了这方面的设计大师斯科特金，他是一个几乎可以把任何对称或不对称的单词拼凑成对称模样的天才。在书里，我还发现了一些有趣的案例，比如New和maN的中心对称性，没错，a和e的书写体是约摸互为中心对称的，并且为了凑齐对称性在大小写上是随意拼凑的，像极了为了诗词押韵添加的各种意象；还有VISTA标志的中心对称性，有点牵强；那ZOONOOZ这个标识就很标准了，还有NISSIN等等。这些都对应的是中心对称，还有一系列轴对称的例子，包括上下和左右：比如minimum，这拐弯抹角的密密麻麻一对竖线，完全可以涂画改良一下以后当左右轴对称，还有我工作的地方T.I.T也呈现着完美的对称；而上下轴对称，更多的只需要把字母竖着写，那每个字母都是轴对称的就可以了，比如TOYOTA。

于是，我从网上下载了一个常用单词词典，把上述表格里的所有对称关系记录进去，然后搜索出来了所有形式的对称单词的结果。你们猜有多少？有很多这样的单词吗？（单个字母不算）

还真没有多少，哪怕算上大小写混用的，中心对称的单词也仅有：pHd，dip，NoN以及NooN，这里还只有dip一个冷门的全小写的单词，不过凭脑袋又想起一个全大写的SOS。而左右轴对称的，有mom，nan，mam，non，nun，rotor，noon，aha，anna，mum，可见mn这两个字母对英文单词对称性的作用有多大；而如果只要求是回文字母序列，不要求字母本身的图案对称相同，还有gig，madam，radar，deed，civic，eve，pop，bob，refer，dad，eye，level，这是抽象意义上的字母对称相等，而没有图形意义。那有上下轴对称的，则就有点多了，比如EBB，coBBlED，cHIC，等等；如果是竖着写，竖直对称轴，则只要求字母本身是个轴对称图形，就更多了，比如HAunt，tonAl，tAwnY等等，而水平对称轴的话，等价于前面水平写的竖直轴对称情况，有DID，BOB，DEED，其他的中心对称和回文则没有区别。

还有一类是两个单词之间的水平数值翻折或者旋转180度以后对应到新单词的关系，这里留给同学们自己写代码去找，我偷个懒先略过了。

结语和预告

其实，除了英文字母外，还有很多符号图案充满着对称的元素。比如扑克牌的花色图案的高度对称性；国际音标里ae这个因就是a和e组合起来的中心对称图形；以及字母和数字组合对称等等。有些并没法直接用程序批量生产，就像斯科特金的作品一样，需要根据需求加上一些字体变形来进行艺术创造。而每个魔术也都是独立的有生命力的个体，它们喜欢吸收这些养分来让自己变得神奇。

下一篇我们将继续介绍语言文字对称的基础部分，进入最后一篇，大家应该猜到我要介绍什么文字的对称性了吧？敬请期待！

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视频1 689的预言

视频2 抓牌奇迹

我们是谁：

MatheMagician，中文“数学魔术师”，原指用数学设计魔术的魔术师和数学家。既取其用数学来变魔术的本义，也取像魔术一样玩数学的意思。文章内容涵盖互联网，计算机，统计，算法，NLP等前沿的数学及应用领域；也包括魔术思想，流程鉴赏等魔术内容；以及结合二者的数学魔术分享，还有一些思辨性的谈天说地的随笔。希望你能和我一起，既能感性思考又保持理性思维，享受人生乐趣。欢迎扫码关注和在文末或公众号留言与我交流！