目录	滑模控制的一点笔记和看法
1	【控制】滑动模型控制（Sliding Mode Control）
2	【控制】滑模控制，小例子，有程序有结果图
3	【控制】滑模控制，滑模面的选择

1 问题描述

假设存在一个被控系统如下
$$\begin{array}{rl}{\dot{x}}_1& =x_2\\ {\dot{x}}_2& =x_3\\ {\dot{x}}_3& =x_1+x_2{x}_3+u\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$

2 滑模控制器设计

接下来设计其滑模控制器

2.1 滑模面选择

设计滑模面为
$$s=x_3+2x_2+x_1\text{\hspace{1em}(2)}$$

2.2 控制器设计

对切换函数 $s$ 求导有
$$\begin{array}{rl}\dot{s}& ={\dot{x}}_3+2{\dot{x}}_2+{\dot{x}}_1\\ & =x_1+x_2{x}_3+u+2x_3+x_2\\ & =x_1+x_2+2x_3+x_2{x}_3+u\end{array}\text{\hspace{1em}(3)}$$

取指数趋近律有
$$\dot{s}=-\text{sgn}(s)-s\text{\hspace{1em}(4)}$$

可得控制器 $u$ 为
$$\begin{array}{rl}\dot{s}& =-\text{sgn}(s)-s=x_1+x_2+2x_3+x_2{x}_3+u\\ u& =-\text{sgn}(s)-s-x_1-x_2-2x_3-x_2{x}_3\end{array}\text{\hspace{1em}(5)}$$

2.3 稳定性证明

取李雅普诺夫函数有
$$V=\frac{1}{2}{s}^2\text{\hspace{1em}(6)}$$

求导有
$$\begin{array}{rl}\dot{V}& =s\dot{s}\\ & =s(-\text{sgn}(s)-s)\\ & =-\text{sgn}(s)s-s^2\\ & =-(|s|+s^2)\le 0\end{array}\text{\hspace{1em}(7)}$$

因为李雅普诺夫函数的微分是负定的，那么系统渐进稳定，即 $s$ 趋于0。又因为 $s=x_3+2x_2+x_1$，因此 $x_1,x_2,x_3$ 都会趋于0。

3 实验验证

3.1 单纯滑模面控制

单纯使用滑模面的控制会出现抖振现象，这一点也可以从下图中看出。

clear
clcx_1(:,1) = rand;
x_2(:,1) = rand;
x_3(:,1) = rand;%%    
tBegin = 0;
tFinal = 20;
dT = 0.1;
times = (tFinal - tBegin) / dT;
t(1,1) = tBegin;for k = 1:times% record timet(:,k+1) = t(:,k) + dT;% slide model planes = x_3(:,k) + 2*x_2(:,k) + x_1(:,k);% control inputu = -sign(s)-s-x_1(:,k)-x_2(:,k)-2*x_3(:,k)-x_2(:,k)*x_3(:,k);% update statesdot_x_3 = x_1(:,k) + x_2(:,k) * x_3(:,k) + u;x_3(:,k+1) = x_3(:,k) + dT * (x_1(:,k) + x_2(:,k) * x_3(:,k) + u);dot_x_2 = x_3(:,k+1);x_2(:,k+1) = x_2(:,k) + dT * dot_x_2;dot_x_1 = x_2(:,k+1);x_1(:,k+1) = x_1(:,k) + dT * dot_x_1;
end%%
plot(t,x_1, t,x_2, t,x_3, 'linewidth',1.5);
legend('$x_1$', '$x_2$', '$x_3$', 'interpreter','latex');
grid on;

3.2 饱和函数替换符号函数

为了防止抖振，可以采用饱和函数 sat(s) 代替控制器中的符号函数sgn(s)。
在Matlab中没有相应的函数，因此我们写了个子函数来自己构建饱和函数，这一点可以在下边的代码里看到。

clear
clcx_1(:,1) = rand;
x_2(:,1) = rand;
x_3(:,1) = rand;%%    
tBegin = 0;
tFinal = 20;
dT = 0.1;
times = (tFinal - tBegin) / dT;
t(1,1) = tBegin;for k = 1:times% record timet(:,k+1) = t(:,k) + dT;% slide model planes = x_3(:,k) + 2*x_2(:,k) + x_1(:,k);% control inputu = -sat(s)-s-x_1(:,k)-x_2(:,k)-2*x_3(:,k)-x_2(:,k)*x_3(:,k);% update statesdot_x_3 = x_1(:,k) + x_2(:,k) * x_3(:,k) + u;x_3(:,k+1) = x_3(:,k) + dT * (x_1(:,k) + x_2(:,k) * x_3(:,k) + u);dot_x_2 = x_3(:,k+1);x_2(:,k+1) = x_2(:,k) + dT * dot_x_2;dot_x_1 = x_2(:,k+1);x_1(:,k+1) = x_1(:,k) + dT * dot_x_1;
end%%
plot(t,x_1, t,x_2, t,x_3, 'linewidth',1.5);
legend('$x_1$', '$x_2$', '$x_3$', 'interpreter','latex');
grid on;%% 
function out = sat(s)sMax = 10;sMin = -10;out = s;if s > sMaxout = sMax;endif s < sMinout = sMin;end  
end

Ref.

1. 基于准滑动模态的滑模控制实例（采用饱和函数sat(s)代替符号函数）