第17章 事件和概率空间

17.1 做个交易吧

假设你有三扇门可供选择。其中一扇门背后是一辆汽车，另外两扇门背后是一只山羊。你选择了一扇门，比如1号门。然后知道门后面有什么的主持人，开启了另一扇后面有山羊的门，假设是3号门。现在，你有一次转换选择的机会，我们想知道现在转换选择是否有利?

17.1.1 理清问题

我们对以上问题做出如下假设：

1. 这辆车被等可能地藏在三扇门后。
2. 不管车在哪扇门后,选手等可能地选择三扇门中的任意一扇。
3. 当选手选择了一扇门之后，主持人必须打开不同于选手所选的藏着羊的一扇门，并提供选手改变选择或坚持原来选择的机会。
4. 如果主持人可以在藏着羊的门中进行选择，则主持人等可能地选择一扇门打开。

17.2 四步法

在本节中，我们对于“什么的概率是多少”这样的问题,介绍一种四步法。在这种方法中我们逐步建立一个概率模型，并根据该模型形式化原始问题。

17.2.1 步骤一:找到样本空间

我们的第一个目标是确定实验的所有可能结果。一个典型的实验通常涉及几个随机确定的量。例如，在蒙特霍尔问题中就涉及如下三个量:

这些随机确定的量的每一种可能的组合称为一次结果。所有可能结果的集合称为该实验的样本空间。

为了表示方便，我们把每个结果标记为门的三元组，其中三个门分别用A,B,C表示:

那么样本空间就是:

此外，我们可以用树状图表示样本空间。第一层、第二层、第三层分别表示车的位置、选手最初的选择、主持人打开的那一扇门。

17.2.2 步骤二:确定目标事件

结果的集合称为事件。

现在我们真正关心的是事件[选手转换选择从而赢得奖品]:

对于这种结果，我们用对钩表示：

刚好一半结果有对钩，但是选手转换选择赢得奖品的概率并不是1/2。因为这些结果并不是等概率发生的。

17.2.3 步骤三:确定结果的概率

到此为止，我们已经列举了实验的所有可能结果。现在我们必须开始评估这些结果的可能性。具体来说，这一步的目标是为每个结果分配概率，即这个结果期望发生的次数占总次数的比例。所有结果的概率之和一定等于1，这表示实验总是必须有一个结果。

步骤3a:分配边的概率

首先，我们在树状图的每条边( edge )上记一个概率。这些边的概率取决于我们最初做的假设。

步骤3b:计算结果的概率

下一步是将边的概率转化成结果的概率。将从根节点到结果叶子节点路径上的概率值相乘,得到这个结果的概率。

计算每个结果的概率就是定义一个从结果到概率的映射函数。这个函数通常记作Pr[·]。所以有:

17.2.4 步骤四:计算事件的概率

现在，我们知道了每个结果的概率，但我们还要知道事件的概率。事件E的概率记作Pr[E]，即E中所有结果的概率之和。

17.2.5 蒙特霍尔问题的另一种解释

那么，Marilyn真的正确吗？我们的分析表明她是对的。不过更准确的说法是:在我们接受她对这个问题的解释的前提下，她的回答是正确的。这个问题还有一种解释，在这个解释下，Marilyn的答案是错误的。

17.3 奇怪的骰子

有三个奇怪的骰子，虽然每个骰子都有六个面，但同一个骰子的对立面上的数字相同，并且不同骰子上的数字不同，如图所示。

你选择骰子B，而你的对手选择骰子A，让我们算一下你赢的概率是多少？

17.3.1骰子A vs.骰子B

步骤1:找到样本空间

对于这个实验，样本空间包含9个结果:

步骤2:定义目标事件

我们感兴趣的事件是骰子A的数字大于骰子B的数字。这个事件由5个结果组成:

步骤3:确定结果的概率

不管哪个骰子，每个骰子上每个数字出现的概率都是1/3。所以每个结果的概率是1/9。

步骤4:计算事件的概率

事件的概率是该事件所有结果的概率之和。这里，所有结果的概率都相同，所以我们说样本空间是均匀的。计算均匀样本空间的事件概率尤其简单，只需要知道事件的结果数目。

17.3.2 骰子A vs.骰子C

如果你选择骰子A而你的对手选择骰子C呢？

经过四步法分析后，我们都到骰子C战胜骰子A的概率是5/9。

17.3.3骰子B vs.骰子C

现在我们已经知道了骰子C很可能战胜骰子A，而且骰子A很可能战胜骰子B，所以骰子C当然是最好的。当我们选择骰子B时，会有很大的可能赢得骰子C。

但是事实并不是这样的，经过四步法画树状图之后，我们发现骰子B有5/9的概率战胜骰子C。

为什么会出现这种情况呢？问题并不出在数学上，而是出在你的直觉上。因为A更可能战胜B，B更可能战胜C，所以看起来A应该更可能战胜C，也就是说，“更可能战胜”的关系应该是可传递的。但是，这个直觉是错误的。

17.3.4掷两次

如果每个玩家掷两次,树状图将会有四层—$3^4=81$个结果。如下图：

每个结果的概率是(1/3)4 =1/81，所以这又是一个均匀的概率空间。

经过计数，我们得到满足A之和大于B之和的对数有37个，满足B之和大于A之和的对数有42个，满足A之和等于B之和的对数有两个。

也就是说B更可能赢，为什么掷一次的时候A比B更可能赢，而掷两次B更可能赢呢？事实上，无论选择哪两个骰子,骰子的优势都发生了改变。

所以，对于一次投掷，

而对于两次投掷,

我们用>和<来表示哪个骰子更可能得到更大的点数。

以上三个奇怪的骰子的怪异行为可以推广为:存在任意大的骰子集合，根据投掷次数不同,它们以一定的模式相互战胜。

17.4 生日原理

班上有95名学生。请问有两人是同一天生日的概率是多少?95名学生、365个可能的生日,你可能会猜测概率大概在1/4左右——但你错了:班级中有两人是同一天生日的概率超过0.9999。

17.4.1匹配概率的确切公式

设人数为n，不同的天数为d。则一共有$d^n$种序列，且这些序列是等可能的。共有d(d-1)…(d-(n-1))个不同的生日序列，则大家生日不同的概率为

当n = 95,d = 365时，式17.7的值小于1/200 000，这意味着有两人的生日相同的概率实际上大于1-1/200 000 > 0.99999。所以，班上没有学生的生日相同才是令人震惊的事情。

生日原理：

如果一年中有d天，一个房间中有$\sqrt{2d}$个人，那么房间中有两人生日相同的概率约为1-1/e = 0.632。

在其他应用领域，这意味着当你用一个散列函数将n个项目映射到大小为d的散列表时，如果n2大于d的一小部分，将会遇到很多冲突。此外，生日原理也因“生日攻击”而著名，它用于破解某些加密系统。

17.5集合论和概率

17.5.1 概率空间

定义17.5.1： 一个可数的样本空间S是一个非空可数集。样本空间中的元素w∈ S称为结果，S的子集称为事件。

定义17.5.2：在样本空间S上的概率函数是一个全函数 Pr: s →R，其满足

样本空间和概率函数一起称为概率空间。对于任意事件E⊆8，E的概率定义为其中结果的概率之和:

17.5.2 集合论的概率法则

由两个不相交事件E和F的事件概率定义，可以直接推导得,

法则17.5.3：(加和法则）设E0,E1 … ,En…是两两不相交的事件，那么，

两个事件的容斥原理等式同样可以推广到任意n个可数事件的集合。同理,布尔不等式也可以推广到有限或无限可数事件的集合。

法则17.5.4（并集的上界)

17.5.3 均匀概率空间

定义17.5.5给定有限的概率空间s，如果对每个o ∈ S来说，Pr[o]都相等，那么这个概率空间是均匀的。

这意味着一旦知道了E和S的基数,马上就可以得到Pr[E]。

17.5.4无穷概率空间

无穷概率空间很常见。例如，两名玩家轮流抛一枚公平的硬币。先抛得正面者胜。第一位玩家胜的概率是多少?这个问题的树状图如图17.10所示。

样本空间是无穷集：

其中$T^n$表示n个T字符串。概率函数是

要验证这是一个概率空间，只需检验所有的概率是非负的并且它们的和为1。所有已知的概率都是非负的,再利用几何级数求和公式,我们得到