1. 对称矩阵
A = A ⊤ A=A^{\top} A=A⊤
性质
- 特征值都是实数
- 可选择一组正交的特征向量
通常情况下
A = S Λ S − 1 A=S\Lambda S^{-1} A=SΛS−1
对称矩阵
A = Q Λ Q − 1 A=Q\Lambda Q^{-1} A=QΛQ−1
Q Q Q为标准正交矩阵
为什么特征值为实数
A X = λ X ⟺ A ‾ X ‾ = λ ‾ X ‾ AX=\lambda X \iff \overline{A}\overline{X}=\overline\lambda\overline X AX=λX⟺AX=λX
如果 A A A为实矩阵
A X = λ X ⟺ A X ‾ = λ X ‾ AX=\lambda X \iff A\overline{X} =\overline{\lambda X} AX=λX⟺AX=λX
将其转置一下
X ⊤ ‾ A ⊤ = X ⊤ ‾ λ ⊤ ‾ \overline{X^{\top}}A^{\top} =\overline{X^{\top}}\overline{\lambda^{\top}} X⊤A⊤=X⊤λ⊤
根据对称性
A ⊤ = A A^{\top} = A A⊤=A
得到
X ⊤ ‾ A = X ⊤ ‾ λ ⊤ ‾ \overline{X^{\top}}A =\overline{X^{\top}}\overline{\lambda^{\top}} X⊤A=X⊤λ⊤
两边同乘 X X X
X ⊤ ‾ A X = X ⊤ ‾ λ ⊤ ‾ X \overline{X^{\top}}AX =\overline{X^{\top}}\overline{\lambda^{\top}}X X⊤AX=X⊤λ⊤X
转换一下
X ⊤ ‾ λ X = X ⊤ ‾ λ ⊤ ‾ X \overline{X^{\top}}\lambda X =\overline{X^{\top}}\overline{\lambda^{\top}}X X⊤λX=X⊤λ⊤X
又有
X ⊤ ‾ X ≠ 0 \overline{X^{\top} }X \ne 0 X⊤X=0
所以
λ = λ ‾ ⊤ \lambda=\overline\lambda^{\top} λ=λ⊤
所以
λ ∈ R \lambda \in R λ∈R
对于复数来说
X ⊤ ‾ X = [ X 1 ‾ X 2 ‾ ⋯ ] [ X 1 X 2 ⋯ ] = X 1 ‾ X 1 + X 2 ‾ X 2 + ⋯ = ( l e n g t h ) 2 > 0 \overline{X^{\top} }X = \begin{bmatrix} \overline{X1} \overline{X2}\cdots \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X1\\ X2\\\cdots \end{bmatrix}= \overline{X1}X1+ \overline{X2}X2+\cdots=(length)^2 \gt 0 X⊤X=[X1X2⋯] X1X2⋯ =X1X1+X2X2+⋯=(length)2>0
好矩阵
- real λ \lambda λ
- perp X
即 A = A ‾ ⊤ A=\overline{A}^{\top} A=A⊤
对于每个对称矩阵
A = A ⊤ A=A^{\top} A=A⊤
可以分解为
A = Q Λ Q ⊤ = [ q 1 q 2 ⋯ ] [ λ 1 λ 2 ⋯ ] [ q 1 ⊤ q 2 ⊤ ⋯ ] = λ 1 q 1 q 1 ⊤ + λ 2 q 2 q 2 ⊤ + ⋯ \begin{align} A &=Q\Lambda Q^{\top} \nonumber &=[q_1\ q_2\cdots] \begin{bmatrix} \lambda_1&&\\ &\lambda_2&\\ & & \cdots& \end{bmatrix} \begin{bmatrix} q_1^{\top}\\q_2^{\top}\\ \cdots \end{bmatrix} \end{align}= \lambda_1q_1q_1^{\top}+\lambda_2q_2q_2^{\top}+\cdots A=QΛQ⊤=[q1 q2⋯] λ1λ2⋯ q1⊤q2⊤⋯ =λ1q1q1⊤+λ2q2q2⊤+⋯
每个对称矩阵都是一组投影矩阵的组合。
主元符号与特征值符号一致。
2. 正定矩阵
正定矩阵是对称矩阵。
- ∀ λ > 0 \forall \lambda \gt 0 ∀λ>0
- ∀ p i v o t > 0 \forall pivot \gt 0 ∀pivot>0
- ∀ k × k 行列式 > 0 \forall k \times k 行列式 \gt0 ∀k×k行列式>0
例子
[ 5 2 2 3 ] \begin{bmatrix} 5 & 2\\2 & 3\\ \end{bmatrix} [5223]
主元 5 11 / 5 5\ 11/5 5 11/5
λ = 4 ± 5 \lambda=4\pm\sqrt[]{5} λ=4±5
