---

一、膨胀与腐蚀

1.1 膨胀

 1. 集合 $A$ 被集合 $B$ 膨胀，定义式如下。其中集合 $B$ 也称为结构元素；$(\hat{B})z$ 表示 $B$ 的反射平移 $z$ 后得到的新集合。

 2. 膨胀步骤：
 (1) 结构元素 $B$ 做关于原点的对称得到 $B$ 的映射。
 (2) 对 $B$ 的映射进行平移，当 $A$ 与 $B$ 的映射的交集不为空集时，此时原点所在位置的像素就属于膨胀集合。 注：是出现交集时，原点所在位置的像素。
 (3) 不停平移，直至找出组成膨胀集合的所有像素。

 3. 如下面例题所示。“1” 类像素是原点直接和图像集合 $A$ 做交集得到的；“2” 类像素是结构元素 $B$ 的非原点元素和图像集合 $A$ 做交集得到的。
 （1）原点位于结构元素之内 $A\subseteq A\oplus B$

 （2）原点位于结构元素之外 $A\not\subset A\oplus B$

 当原点不在结构元素 $B$ 内，原点处是空的。会发现做膨胀运算时，图像集合 $A$ 中有三个像素不在膨胀集合中。当 $B$ 的映像移动到上图三个位置时，因为原点处是空的，和图像集合 $A$ 没交集，即此时原点所在位置的像素不属于膨胀集合。

1.2 腐蚀

 1. 集合 $A$ 被集合 $B$ 膨胀，定义式如下。其中集合 $B$ 也称为结构元素；$(\hat{B})z$ 表示 $B$ 的反射平移 $z$ 后得到的新集合。

 2. 腐蚀步骤：
 (1) 结构元素 $B$ 移动，当结构元素 $B$ 和图像集合 $A$ 的子结构完重合时，此时原点所在位置的像素属于腐蚀集合。
 (2) 重复上述操作，直至找出腐蚀集合的所有像素。

 3. 如下面例题所示。
 （1）原点位于结构元素之内 $A\theta B\subseteq A$

 （2）原点位于结构元素之外 $A\theta B\not\subset A$

二、开操作与闭操作

 1. 开操作和闭操作实际就是腐蚀和膨胀的一个组合运算，公式如下所示。
 (1) 开操作：先进行腐蚀，再进行膨胀。

 (2) 闭操作：先进行膨胀，再进行腐蚀。

 2. 注意：(1) 开操作：先用 $B$ 对 $A$ 进行腐蚀得到 $AA$，然后再用 $B$ 对 $AA$ 进行膨胀得到 $C$。 (2) 闭操作：先用 $B$ 对 $A$ 进行膨胀得到 $AA$，然后再用 $B$ 对 $AA$ 进行腐蚀得到 $C$。

 3. 举例：