自然指数函数e^x与欧拉数e

 Part I: 如何找到欧拉数e

        上一篇文章停在了“应该存在一个b，使得指数函数b^x在x=0处的导数为1。且该指数函数在任意一处的导数都等于当前位置的函数值”。根据前面所知道的，可以用数学公式列出以下一些已知条件：

 （式1：表示原函数）

 （式2：表示任何指数函数的0次幂为1）

（式3：表示函数在x=0处的导数为1）

 （式4：表示函数在任意处的导数等于y）

        这样看来我们只需根据(式4)求解微分方程即可，但这样一来就会直接引出，即，以e为底的对数函数。但实际上这个时候我并不知道e，这让我很苦恼。因为，我所看到的数学书里面基本上都是先讲对数，再讲，然后再讲对数函数的反函数，一直到引出e^x和e。所以，我在这里试图改用另一种方法来给出e。

        已知我要求的目标函数是f(x)=b^x，现在要基于上面的所有已知条件去构建该函数，使得b的是我们要找的那个数，他能够满足上面四个等式。

第一步：

根据(式2)，

又因为(式4)，

第一步最终得到，

原函数
导数

第二步：

        观察第一步的结果，根据求导法则，明显，常数f(0)=1的导数f(0)'应当为0。要想让f(0)的导数f(0)'等于1，f(0)'还应该补上一个x。使得1+x的导数等于1，即：

原函数
导数

 第三步：

        根据(式4)导数f(0)'应该等于f(0)，因此，我们要对第二步的结果进行再一次改写，如下：

原函数
导数

 第四步：

        再次根据函数的求导法则，要想让导数f(0)'等于1+x，f(0)不应是1+x，而是1+x+(x^2)/2。

原函数
导数

 第五步：

        再次根据(式4)导数f(0)'应该等于f(0)，重写导数。

原函数
导数

 依此类推，反复的修改原函数与导数，最终我们会得到如下的结果：

原函数
导数

原函数
导数

原函数
导数

用阶乘符号可简化成：

原函数
导数

最终我们完成了目标函数f(x)=b^x的构造，得到：

当x=0时，b^x=1，这和上面的公式吻合：

但当x=1时，我们就能求出b：

	前n项	第n项	前n项和
1	1	1	1
2	1+1	1	2
3	1+1+1/2	0.5	2.5
4	1+1+1/2+1/6	0.1666667	2.666667
5	1+1+1/2+1/6+1/24	0.0416667	2.70833333
6	1+1+1/2+1/6+1/24+1/120	0.0083333	2.716666667
7	1+1+1/2+1/6+1/24+1/120+1/720	0.0013888	2.718055556
8	1+1+1/2+1/6+1/24+1/120+1/720+1/5040	0.0001984127	2.718253968
9	1+1+1/2+1/6+1/24+1/120+1/720+1/5040+1/40320	0.0000248015873	2.718278769
	。。。	。。。	。。。
n	1+1+1/2+1/6+1/24+1/120+1/720+1/5040+1/40320+...	0.0000000000001	2.718281828

        最终能够求得这个非常特别的b的近似值，他是一个无限不循环小数。以瑞士数学家欧拉(Euler)命名，被称为欧拉数，并取其名字的首字母e来特指这一数。至此，我们就得到了自然指数函数，他不在被写作b^x，而是用e^x来特指这一函数，叫做自然指数函数(在有些地方会直接称之为指数函数)：

e的近似值可以用一个有理数来表示：

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 （全文完）

作者 --- 松下J27 

 参考文献(鸣谢)：

1，指数

2，指数、根和对数

3，指数函数参考

4，https://en.wikipedia.org/wiki/Exponentiation

5，Thomas' calculus(12th edition), page 41

6，calculus-James Stewart(2015), page  413

7，[oCourse][中英][微积分重点][MIT][Strang]4_指数函数_哔哩哔哩_bilibili

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（配图与本文无关） 

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