1.问题介绍

在基于标签的推荐系统中 ，经常需要选择一组标签作为用户画像，在相关资料中，有人提到利用最小描述长度MDL的方法来进行选择，例如肖仰华的《知识图谱概念与技术》。

但是在相关资料中，包括网络上其他资料，对于具体做法并不明确。自己之前做的工作中，有涉及到标签选择的任务，因此这里分享一下自己的理解，并结合国家的案例做说明。

2.原理

在资料中，假设$C$是要使用的标签组，X是一组实体，那么针对X，标签$C$的编码长度由以下两部分构成：

$$MDL(C,X)=-logP(C)+\sum _{x_i\in x}-logP(x_i|C)$$

其中第一部分是标签组$C$的先验概率或信息量，第二部分$P(x_i|C)$是给定实体$x_i$能够联想到标签C的概率，MDL的值越小，说明当前标签组C的信息量越多，并且越容易通过标签组C联想到实体组X，具体而言：
$$logP(C)=log\frac{n_C}{n_{Total}}$$

上面公式中，$n_{(C)}$表示当前标签C覆盖的关系数，$n_{Total}$表示总的关系数，

$$logP(x_i|C)=log\frac{n_{x_i}}{n_C}$$
上面公式中，$n_C$含义不变，仍表示当前标签C覆盖的关系数，而$n_{x_i}$可以表示在关系$C$下，$x_i$出现的总次数。

3.例子

下面举例说明，例如现在有200个国家，其中亚洲国家50个，东亚国家10个，西亚国家10个，中亚国家10个，东南亚20个。

例子1：

假设现在国家集合$X$={中国，韩国，朝鲜，沙特，伊朗}，候选标签组分别为$C_1$={亚洲}，$C_2$={东亚，西亚}，$C_2$={国家}，简化起见，令$n_{x_i}$均为1。按照常识，最合适的标签应该是$C_2$。

以标签$C_1$为例，

$$logP(C)=log\frac{n_C}{n_{Total}}=log(\frac{50}{200+50+10+10+20})=log(\frac{50}{300})$$

针对$x_1$=中国:

$$logP(x_i|C_1)=log\frac{n_{x_i}}{n_C}=log\frac{1}{50}$$

因此在给定$X$和$C_1$的情况下，其MDL应为：

-math.log(50/300)+((-math.log(1/50))+(-math.log(1/50))+(-math.log(1/50))+(-math.log(1/50))+(-math.log(1/50)))
# 计算结果：MDL(C1,X)=21.351874496368783

同理,给定$X$和$C_2$:

-math.log(10/300)+((-math.log(1/10))+(-math.log(1/10))+(-math.log(1/10)))-math.log(10/300)+(-math.log(1/10))+(-math.log(1/10))
# 计算结果：MDL(C2,X)=18.315320228294542

同理，给定$X$和$C_3$:

-math.log(200/300)+((-math.log(1/200))+(-math.log(1/200))+(-math.log(1/200))+(-math.log(1/200))+(-math.log(1/200)))
# 计算结果：MDL(C3,X)=26.897051940848346

结合以上结果，应选择$C_2$={东亚，西亚}作为标签组，来描述$X$={中国，韩国，朝鲜，沙特，伊朗},这符合实际感受。

例子2：
下面举例说明，例如现在有200个国家，其中亚洲国家50个，东亚国家10个，西亚国家10个，中亚国家10个，东南亚20个，欧洲、非洲、美洲国家各50个，

且国家集合$X$={中国，韩国，美国，加拿大}，为简化起见令$n_{x_i}$均为1

则在标签组$C_1$={亚洲，美洲}，$C_2$={东亚，美洲}，$C_3$={东亚，美洲，欧洲}下，MDL值分别为：

-math.log(50/450)+(-(math.log(1/50))+(-math.log(1/50)))-math.log(50/450)+(-math.log(1/50)+math.log(1/50))
# 计算结果:C1=12.218495165528731

-math.log(10/450)+(-(math.log(1/10))+(-math.log(1/10)))-math.log(50/450)+(-math.log(1/50)+math.log(1/50))
# 计算结果:C2=10.609057253094631

-math.log(10/450)+(-(math.log(3/10))+(-math.log(2/10)))-math.log(50/450)+(-math.log(1/50)+math.log(1/50))+(-math.log(50/450))
# 计算结果C3=11.014522361202795

因此选择$C_2$={东亚，美洲}来解释$X$={中国，韩国，美国，加拿大}。

例子3：
在例子2的基础上，假设现在有一个新的标签“亚洲工业强国”，并且中国，韩国与这个新概念高度相关，即
前面两个例子提到的$n_{x_i}$均不为1，假设分别为4,2，那么$C_4$={亚洲工业强国，美洲}下MDL的值为：

 -math.log(10/450)+(-(math.log(4/10))+(-math.log(2/10)))-math.log(50/450)+(-math.log(1/50)+math.log(1/50))# 计算结果 C4=8.529615711414795

说明概念$C_4$={亚洲工业强国，美洲}，比概念$C_2$={东亚，美洲}更能解释国家集合$X$={中国，韩国，美国，加拿大}，

利用“亚洲工业强国”这个概念，更容易联想到“日本”这样的“工业强国”，而不是“香港”“澳门”这样的“金融城”。