一.时间复杂度

1.时间复杂度的概念

• 在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。一 个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个 分析方式。
• 一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。

2.时间复杂度的计算方法

找到某条基本语句与问题规模N之间的数学表达式，就是算出了该算法的时间复杂度。实际中我们计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数，那么这里我们使用大O的渐进表示法：

1. 用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
2. 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶。
3. 如果最高阶项存在且不是1，则去除该项的系数，得到的结果为大O。

另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：

1. 最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界)
2. 平均情况：任意输入规模的期望运行次数
3. 最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)

3.样例分析

计算以下代码块的时间复杂度
(1)

// 计算Func2的时间复杂度？
void Func2(int N)
{int count = 0;for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k){++count;}int M = 10;while (M--){++count;}printf("%d\n", count);
}

解析：O(2*N+M)，M是常数，系数为1，所以结果为O(N)
(2)

// 计算Func3的时间复杂度？
void Func3(int N, int M)
{int count = 0;for (int k = 0; k < M; ++ k){++count;}for (int k = 0; k < N ; ++ k){++count;}printf("%d\n", count);
}

解析：O(N+M)
(3)

const char * strchr ( const char * str, int character );

解析：最好1次，最坏n次，取最坏次数，复杂度O(N)
(4)冒泡排序

// 计算BubbleSort的时间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{assert(a);for (size_t end = n; end > 0; --end){	int exchange = 0;for (size_t i = 1; i < end; ++i){if (a[i-1] > a[i]){Swap(&a[i-1], &a[i]);exchange = 1;}}if (exchange == 0)break;}
}

解析：最好交换一趟O(N)，最坏交换N-1躺，复杂度O(N^2)
(5)二分查找

// 计算BinarySearch的时间复杂度？
int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{assert(a);int begin = 0;int end = n-1;// [begin, end]：begin和end是左闭右闭区间，因此有=号while (begin <= end){int mid = begin + ((end-begin)>>1);if (a[mid] < x)begin = mid+1;else if (a[mid] > x)end = mid-1;elsereturn mid;}return -1;
}

解析：最好1次就能找到，最好情况假设N是数组元素个数，x是最坏查找次数，每次数组都放缩一半，所以N/2/2/2/……=1，最后剩下的为要找的数，查找x次，所以2^x=N，x=logN，复杂度O(logN)

二.空间复杂度

1.什么是空间复杂度

• 空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度 。
• 空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。
• 空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似，也使用大O渐进表示法。
• 注意：函数运行时所需要的栈空间(存储参数、局部变量、一些寄存器信息等)在编译期间已经确定好了，因此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定。

2.样例分析

(1)冒泡排序

// 计算BubbleSort的空间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{assert(a);for (size_t end = n; end > 0; --end){int exchange = 0;for (size_t i = 1; i < end; ++i){if (a[i-1] > a[i]){Swap(&a[i-1], &a[i]);exchange = 1;}}if (exchange == 0)break;}
}

解析：常数个临时变量，复杂度O(N)
(2)

// 计算Fibonacci的空间复杂度？
// 返回斐波那契数列的前n项
long long* Fibonacci(size_t n)
{if(n==0)return NULL;long long * fibArray = (long long *)malloc((n+1) * sizeof(long long));fibArray[0] = 0;fibArray[1] = 1;for (int i = 2; i <= n ; ++i){fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray [i - 2];}return fibArray;
}

解析：动态开辟了（n+1）个空间，复杂度为O(N)

(3）自己思考下列两种递归的复杂度
①

// 计算阶乘递归Fac的空间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{if(N == 0)return 1;return Fac(N-1)*N;
}

②

// 计算斐波那契递归Fib的空间复杂度？
long long Fib(size_t N)
{if(N < 3)return 1;return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

---

本篇到此结束，码文不易，还请多多支持哦！！