一、空间直线的方程
1.1 空间直线的一般方程
空间直线 LLL 可以看做是两个平面 Π1\Pi_1Π1 和 Π2\Pi_2Π2 的交线,那么就可以用两个平面方程来表示这个直线:
{A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0(1)\left\{ \begin{aligned} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{aligned} \right.\tag{1} {A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0(1)
这个叫做空间直线的一般方程。
1.2 对称式方程
如果一个非零向量平行于一条已知直线,那么这个向量就叫做直线的方向向量。要确定唯一的直线,还需要一个点。所以,已知直线 LLL 上的一点 M0(x0,y0,z0)M_0(x_0,y_0,z_0)M0(x0,y0,z0) 和它的一个方向向量 s=(m,n,p)s=(m,n,p)s=(m,n,p) ,设点 M(x,y,z)M(x,y,z)M(x,y,z) 是直线上的任意点,根据方向向量 s=(m,n,p)s=(m,n,p)s=(m,n,p) 与 M0M→=(x−x0,y−y0,z−z0)\overrightarrow{M_0M}=(x-x_0,y-y_0,z-z_0)M0M=(x−x0,y−y0,z−z0) 平行的事实有:
x−x0m=y−y0n=z−z0p(2)\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}\tag{2} mx−x0=ny−y0=pz−z0(2)
你也可以叫他点向式方程。一个直线可以由多个方向向量,具体的某一个就叫做方向数,对应方向向量的预先表示叫做这个直线的方向余弦。
PS:如果方向向量中有一个分量为零,那么应该用1代替0,且独立出一个零方程,如,m为零,那么方程应该理解为:
{x−x0=0y−y0n=z−z0p\left\{ \begin{aligned} x-x_0&=0\\ \frac{y-y_0}{n}&=\frac{z-z0}{p} \end{aligned} \right. ⎩⎨⎧x−x0ny−y0=0=pz−z0
1.3 参数方程
参数方程直接可以由公式(2)(2)(2)变形得出:
x−x0m=y−y0n=z−z0p=t(3)\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}=t\tag{3} mx−x0=ny−y0=pz−z0=t(3)
即:
{x=x0+mt,y=y0+nt,z=z0+pt,\left\{ \begin{aligned} x&=x_0+mt,\\ y&=y_0+nt,\\ z&=z_0+pt, \end{aligned} \right. ⎩⎨⎧xyz=x0+mt,=y0+nt,=z0+pt,
二、空间直线与直线的夹角
在解析几何中,两个直线方向向量的夹角叫做两直线的夹角。和之前遇到的问题一样,向量之间的夹角通常是≤180\le180≤180的,所以也需要取绝对值。
设直线 L1L1L1 L2L2L2的方向向量依次是 s1=(m1,n1,p1)\bold{s_1}=(m_1,n_1,p_1)s1=(m1,n1,p1) 和 s2=(m2,n2,p2)\bold{s_2}=(m_2,n_2,p_2)s2=(m2,n2,p2) ,所以直线的夹角余弦可以求得:
cosφ=∣m1m2+n1n2+p1p2∣m12+n12+p12m22+n22+p22\cos\varphi=\frac{|m_1m_2+n_1n_2+p_1p_2|}{\sqrt{m_1^2+n_1^2+p_1^2}\sqrt{m_2^2+n_2^2+p_2^2}} cosφ=m12+n12+p12m22+n22+p22∣m1m2+n1n2+p1p2∣
从上面的公式可以推出以下结论:
- 两条直线 L1L1L1 L2L2L2相互垂直的条件为: m1m2+n1n2+p1p2=0m_1m_2+n_1n_2+p_1p_2=0m1m2+n1n2+p1p2=0
- 两条直线 L1L1L1 L2L2L2相互平行或重合的条件为: m1m2=n1n2=p1p2\frac{m_1}{m_2}=\frac{n_1}{n_2}=\frac{p_1}{p_2}m2m1=n2n1=p2p1
三、空间直线和平面的夹角
当直线与平面不垂直时,直线和它在平面上的投影直线的夹角 φ∈[0,π2]\varphi\in[0,\frac{\pi}{2}]φ∈[0,2π]称为直线与平面的夹角,当直线与平面垂直时规定夹角为90度。我们设直线的方向向量为 s=(m,n,p)\bold{s}=(m,n,p)s=(m,n,p) ,平面的法向量为 n=(A,B,C)\bold{n}=(A,B,C)n=(A,B,C) ,设平面直线与其投影的夹角为 φ\varphiφ 。
如果 s\bold{s}s 和 n\bold{n}n 夹角为锐角那么:
φ=π2−(s,n^)\varphi=\frac{\pi}{2}-(\widehat{\bold{s,n}}) φ=2π−(s,n)
如果 s\bold{s}s 和 n\bold{n}n 夹角为钝角那么:
φ=(s,n^)−π2\varphi=(\widehat{\bold{s,n}})-\frac{\pi} {2}φ=(s,n)−2π
写成一个式子则为:
φ=∣π2−(s,n^)∣\varphi=|\frac{\pi}{2}-(\widehat{\bold{s,n}})| φ=∣2π−(s,n)∣
左右两边同时取正弦:
sinφ=sin∣π2−(s,n^)∣\sin\varphi=\sin|\frac{\pi}{2}-(\widehat{\bold{s,n}})| sinφ=sin∣2π−(s,n)∣
也就是:
sinφ=∣cos(s,n^)∣\sin\varphi=|\cos(\widehat{\bold{s,n}})| sinφ=∣cos(s,n)∣
前面已经探讨过余弦的表达式:
sinφ=∣Am+Bn+Cp∣A2+B2+C2m2+n2+p2\sin\varphi=\frac{|Am+Bn+Cp|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}\sqrt{m^2+n^2+p^2}} sinφ=A2+B2+C2m2+n2+p2∣Am+Bn+Cp∣
因为直线与平面垂直相当于直线的方向向量与法向量平行所以:
Am=Bn=Cp\frac{A}{m}=\frac{B}{n}=\frac{C}{p} mA=nB=pC
是直线和平面垂直的条件。
因为直线在平面上或者平行相当于法向量与直线垂直,所以:
An+Bn+Cp=0An+Bn+Cp=0 An+Bn+Cp=0