PT_大数定律LLN

news/2024/3/29 13:03:19/文章来源:https://blog.csdn.net/xuchaoxin1375/article/details/127619099

文章目录

  • 概率基础不等式
    • 切比雪夫不等式
      • chebyshev Inequality
        • 推导
  • 依概率收敛
    • 定义
      • 直观解释
      • 特点
    • 服从大数定律
  • 大数定律
    • chebyshev LLN
      • 应用
    • bernoulli LLN
      • 意义
    • Khinchin LLN

概率基础不等式

切比雪夫不等式

  • chebyshev’s inequality

    • ref:Chebychev’s inequality and weak law of large numbers (CS 2800, Spring 2017) (cornell.edu)
  • 通过方差来估计:随机变量的取值和期望之间的偏差大于某个正数的概率

  • chebyshev不等式给出了这个概率的上界

chebyshev Inequality

  • 设随机变量X的方差存在:(D(X)存在是chebyshev不等式作用的前提D(X)存在是chebyshev不等式作用的前提D(X)存在是chebyshev不等式作用的前提)

    • 根据概率的规范性,可写出chebyshev不等式的两种形式:

    • P(∣X−E(X)∣⩾ε)⩽D(X)ε2P(|X-E(X)|\geqslant\varepsilon) \leqslant\frac{D(X)}{\varepsilon^2} P(XE(X)ε)ε2D(X)

      • 其中,ε>0根据概率的规范性:P(∣X−E(X)∣<ε)=1−P(∣X−E(X)∣⩾ε,可以写出另一形式:其中,\varepsilon>0 \\根据概率的规范性:P(\sqrt{|X-E(X)|<\varepsilon})=1-P(\sqrt{|X-E(X)|\geqslant{\varepsilon}}, \\可以写出另一形式: 其中,ε>0根据概率的规范性:P(XE(X)<ε)=1P(XE(X)ε,可以写出另一形式:
  • P(∣X−E(X)∣<ε)⩾1−D(X)ε2P(\sqrt{|X-E(X)|}<\varepsilon)\geqslant{1-\frac{D(X)}{\varepsilon^2}} P(XE(X)<ε)1ε2D(X)

推导

  • 推导(连续型情况)

    • chebyshev inequality的推导在于利用事件∣X−E(X)∣⩾ε>0|X-E(X)|\geqslant\varepsilon>0XE(X)ε>0

      • 从而:∣X−E(X)∣ε⩾1|X-E(X)|{\varepsilon}\geqslant{1}XE(X)ε1,利用这个不等式进行放缩被积函数

      • $$
        \frac{|X-E(X)|}{\varepsilon}\geqslant{1}
        \\Rightarrow \frac{{|X-E(X)|2}}{\varepsilon2}\geqslant{1}
        \

        \
        \frac{|X-E(X)|2}{\varepsilon2}f(x)
        \geqslant{f(x)}
        \
        将E(X)看作一个常数(D(X)=E(X2)-E2(X)相对于自变量x可以视为常数);
        \(E(X)&D(X)与随机变量X是函数关系)
        \积分变量设为x
        \积分区间用不等式表示:|x-E(X)|>\varepsilon
        $$

        P(∣X−E(X)∣⩾ε)=∫∣x−E(X)∣>εf(x)dx⩽∫∣x−E(X)∣>ε∣X−E(X)∣2ε2f(x)dx⩽∫x∈R(X−E(X))2ε2f(x)dxNote:(此处,∫x∈R⇔∫−∞+∞;∫x∈Rf(x)dx=1)=1ε2(X−E(X))2∫x∈Rf(x)dx=1ε2E(((X−E(X))2)∫x∈Rf(x)dx对常数(X−E(X))2(相对于自变量x而言是常数)求期望(X−E(X))2=E((X−E(X))2)=D(X)=1ε2D(X)∫x∈Rf(x)dx=1ε2D(X)P(\sqrt{|X-E(X)|}\geqslant\varepsilon) =\int\limits_{|x-E(X)|>\varepsilon} f(x)\mathrm{d}x \\\LARGE\leqslant{} \normalsize \int\limits_{|x-E(X)|>\varepsilon} \frac{{|X-E(X)|^2}}{\varepsilon^2}f(x)\mathrm{d}x \\\LARGE\leqslant{} \normalsize \int\limits_{x\in{R}} \frac{{(X-E(X))^2}}{\varepsilon^2}f(x)\mathrm{d}x \\Note:(此处,\int\limits_{x\in{R}}\Leftrightarrow \int_{-\infin}^{+\infin};\int\limits_{x\in{R}} f(x)\mathrm{d}x=1) \\=\frac{1}{\varepsilon^2}{(X-E(X))^2}\int\limits_{x\in{R}} f(x)\mathrm{d}x \\=\frac{1}{\varepsilon^2}{E(((X-E(X))^2)}\int\limits_{x\in{R}} f(x)\mathrm{d}x \\对常数(X-E(X))^2(相对于自变量x而言是常数) \\求期望(X-E(X))^2=E((X-E(X))^2)=D(X) \\=\frac{1}{\varepsilon^2}{D(X)}\int\limits_{x\in{R}} f(x)\mathrm{d}x \\=\frac{1}{\varepsilon^2}{D(X)} P(XE(X)ε)=xE(X)>εf(x)dxxE(X)>εε2XE(X)2f(x)dxxRε2(XE(X))2f(x)dxNote:(此处,xR+;xRf(x)dx=1)=ε21(XE(X))2xRf(x)dx=ε21E(((XE(X))2)xRf(x)dx对常数(XE(X))2(相对于自变量x而言是常数)求期望(XE(X))2=E((XE(X))2)=D(X)=ε21D(X)xRf(x)dx=ε21D(X)

依概率收敛

定义

  • 随机变量序列{Xi},i=1,2,⋯随机变量序列\set{X_i},i=1,2,\cdots随机变量序列{Xi},i=1,2,

    • A是一个常数

    • ∀ϵ>0\forall{\epsilon}>0ϵ>0

    • lim⁡n→∞P(∣Xn−A∣<ϵ)=1或:lim⁡n→∞P(∣Xn−A∣⩾ϵ)=0则称{Xi}依赖概率收敛于常数A记为:Xn→PA或(Xn−A→P0)\lim\limits_{n\to{\infin}}P(|X_n-A|<\epsilon)=1 \\或:\lim\limits_{n\to{\infin}}P(|X_n-A|\geqslant\epsilon)=0 \\则称\set{X_i}依赖概率收敛于常数A \\记为:X_n{\xrightarrow{P}}{A} \\或(X_n-A{\xrightarrow{P}}{0}) nlimP(XnA<ϵ)=1:nlimP(XnAϵ)=0则称{Xi}依赖概率收敛于常数A记为:XnPA(XnAP0)

    • 特别的,当A=0的时候lim⁡n→∞P(∣Xn∣<ϵ)=1或lim⁡n→∞P(∣Xn∣⩾ϵ)=0则称{Xi}依赖概率收敛于0:Xn→P0特别的,当A=0的时候 \\\lim\limits_{n\to{\infin}}P(|X_n|<\epsilon)=1 或\\ \lim\limits_{n\to{\infin}}P(|X_n|\geqslant\epsilon)=0 则称\set{X_i}依赖概率收敛于0: \\X_n\xrightarrow{P}0 特别的,A=0的时候nlimP(Xn<ϵ)=1nlimP(Xnϵ)=0则称{Xi}依赖概率收敛于0:XnP0

      • 从极限的角度,也就是说符号→PA表示依概率收敛于A;P表示概率Probability\xrightarrow{P}{A}表示依概率收敛于A;P表示概率ProbabilityPA表示依概率收敛于A;P表示概率Probability

直观解释

  • 以概率收敛的直观解释:
    • ∀ϵ>0,n充分大的时候,Xn与X的偏差小于ϵ\forall{\epsilon}>0,n充分大的时候,X_n与X的偏差小于\epsilonϵ>0,n充分大的时候,XnX的偏差小于ϵ
    • 描述的是在概率意义下的收敛性
      • 当n很大的时候,我们有很大的把握可以保证Xn与X很接近(要多接近有多接近)当n很大的时候,我们有很大的把握可以保证X_n与X很接近(要多接近有多接近)n很大的时候,我们有很大的把握可以保证XnX很接近(要多接近有多接近)

特点

  • 从形式上看,依概率收敛的定义中,被求极限的概率表达式部分:P(∣Xn−A∣⩾ϵ)P(|X_n-A|\geqslant\epsilon)P(XnAϵ)很符合chebyshev不等式中的形式

    • P(∣X−E(X)∣⩾ε)⩽D(X)ε2lim⁡n→∞P(∣Xn−A∣⩾ϵ)=0P(|X-E(X)|\geqslant\varepsilon) \leqslant\frac{D(X)}{\varepsilon^2} \\ \lim\limits_{n\to{\infin}}P(|X_n-A|\geqslant\epsilon)=0 P(XE(X)ε)ε2D(X)nlimP(XnAϵ)=0

服从大数定律

  • 如果{Xn∣n=1,2,⋯}是一列随机变量序列如果\set{X_n|n=1,2,\cdots}是一列随机变量序列如果{Xnn=1,2,}是一列随机变量序列

    • {an}是一列实数序列\set{a_n}是一列实数序列{an}是一列实数序列

    • 如果存在某个{an},使得:如果存在某个\set{a_n},使得:如果存在某个{an},使得:

      • S=S(n,{Xn})=1n(∑i=1nXi)−an→P0lim⁡n→∞P(S)=lim⁡n→∞P(∣(1n∑i=1nXi)−an∣⩾ϵ)=0S=S(n,\set{X_n})=\frac{1}{n}(\sum\limits_{i=1}^{n}X_i)-a_n \xrightarrow{P}0 \\ \lim\limits_{n\to{\infin}}P({S})=\lim\limits_{n\to{\infin}}P(|(\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}X_i)-a_n|\geqslant\epsilon)=0 S=S(n,{Xn})=n1(i=1nXi)anP0nlimP(S)=nlimP((n1i=1nXi)anϵ)=0
    • 则称{Xn}\set{X_n}{Xn}服从大数定律

大数定律

  • Law of large numbers(LLN)

  • 事件A发生的频率具有稳定性:

    • 当试验次数n增大,频率将稳定于某一个常数(这个常数就A发生的概率:P(A))

    • 例如:做测量的时候,重复测量n次,得到的数值分别记为X1,X2,⋯,XnX_1,X_2,\cdots,X_nX1,X2,,Xn

      • 可以将{Xi},i=1,2,⋯,n视为n个独立同分布的随机变量可以将\set{X_i},i=1,2,\cdots,n视为n个独立同分布的随机变量可以将{Xi},i=1,2,,n视为n个独立同分布的随机变量

        • 一般测量试验的随机变量服从正态分布:设为X∼N(μ,σ2)X\sim{N(\mu,\sigma^2)}XN(μ,σ2)
        • Xi之间的的数学期望和方差都是一致的,分别为μ,σX_i之间的的数学期望和方差都是一致的,分别为\mu,\sigmaXi之间的的数学期望和方差都是一致的,分别为μ,σ
        • E(X‾)=E(Xi)=μE(\overline{X})=E(X_i)=\muE(X)=E(Xi)=μ
        • D(X‾)=1nσ2D(\overline{X})=\frac{1}{n}\sigma^2D(X)=n1σ2
          • 从这个角度上看,当n充分大的时候,方差趋近于0
          • 并且X‾会稳定于它的数学期望μ并且\overline{X}会稳定于它的数学期望\mu并且X会稳定于它的数学期望μ,体现的是大量试验中平均结果的稳定性
      • 下面是推导过程:

        • 将这n个随机变量的算数平均值记为X‾=1n∑i=1nXi将这n个随机变量的算数平均值记为\overline{X}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}X_i将这n个随机变量的算数平均值记为X=n1i=1nXi

        • X‾也视为一个随机变量\overline{X}也视为一个随机变量X也视为一个随机变量

        • E(X‾)=1nE(∑i=1nXi)=1n∑i=1nE(Xi)=1nnμ=μD(X‾)=E(X‾2)−E2(X‾)=E((1n∑i=1nXi)2)−μ2=1n2E((∑i=1nXi)2)−μ2E(\overline{X}) =\frac{1}{n}E(\sum\limits_{i=1}^{n}X_i) =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E(X_i)=\frac{1}{n}n\mu =\mu \\ D(\overline{X})=E(\overline{X}^2)-E^2(\overline{X}) \\=E((\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}X_i)^2)-\mu^2 \\=\frac{1}{n^2}E((\sum\limits_{i=1}^{n}X_i)^2)-\mu^2 E(X)=n1E(i=1nXi)=n1i=1nE(Xi)=n1nμ=μD(X)=E(X2)E2(X)=E((n1i=1nXi)2)μ2=n21E((i=1nXi)2)μ2

        • (∑i=1nXi)2=∑i=1n∑j=1nXiXj=∑i=1n∑j=1j≠inXiXj+∑i=1nXi2(\sum\limits_{i=1}^{n}X_i)^2 =\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}X_iX_j \\=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{ \begin{aligned} j=1 \\ j\neq{i} \end{aligned} }^{n}X_iX_j +\sum\limits_{i=1}^{n}X_i^2 (i=1nXi)2=i=1nj=1nXiXj=i=1nj=1j=inXiXj+i=1nXi2

          • D(Xi)=σ2=E(Xi2)−E2(Xi)=E(Xi2)−μ2E(Xi2)=σ2+μ2D(X_i)=\sigma^2=E(X_i^2)-E^2(X_i)=E(X_i^2)-\mu^2 \\E(X_i^2)=\sigma^2+\mu^2 D(Xi)=σ2=E(Xi2)E2(Xi)=E(Xi2)μ2E(Xi2)=σ2+μ2

          • E(∑i=1n∑j=1j≠inXiXj+∑i=1nXi2)=∑i=1n∑j=1j≠inE(XiXj)+∑i=1nE(Xi2)=∑i=1n∑j=1j≠inE(Xi)E(Xj)+∑i=1nE(Xi2)=∑i=1n∑j=1j≠inμ2+n(μ2+σ2)=n2(μ2)+nσ2E(\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{ \begin{aligned} j=1 \\ j\neq{i} \end{aligned} }^{n}X_iX_j +\sum\limits_{i=1}^{n}X_i^2) \\=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{ \begin{aligned} j=1 \\ j\neq{i} \end{aligned} }^{n}E(X_iX_j) +\sum\limits_{i=1}^{n}E(X_i^2) \\=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{ \begin{aligned} j=1 \\ j\neq{i} \end{aligned} }^{n}E(X_i)E(X_j) +\sum\limits_{i=1}^{n}E(X_i^2) \\=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{ \begin{aligned} j=1 \\ j\neq{i} \end{aligned} }^{n}\mu^2 +n(\mu^2+\sigma^2) \\=n^2(\mu^2)+n\sigma^2 E(i=1nj=1j=inXiXj+i=1nXi2)=i=1nj=1j=inE(XiXj)+i=1nE(Xi2)=i=1nj=1j=inE(Xi)E(Xj)+i=1nE(Xi2)=i=1nj=1j=inμ2+n(μ2+σ2)=n2(μ2)+nσ2

        • E(X‾)=1n2E((∑i=1nXi)2)−μ2=1n2(n2μ2+nσ2)−μ2=μ2+1nσ−μ2=1nσ2E(\overline{X}) =\frac{1}{n^2}E((\sum\limits_{i=1}^{n}X_i)^2)-\mu^2 \\=\frac{1}{n^2}(n^2\mu^2+n\sigma^2)-\mu^2 \\=\mu^2+\frac{1}{n}\sigma-\mu^2 \\=\frac{1}{n}\sigma^2 E(X)=n21E((i=1nXi)2)μ2=n21(n2μ2+nσ2)μ2=μ2+n1σμ2=n1σ2

    • 前面说到的大量试验中平均结果的稳定性,

      • 用大数定律,以严格的数学语言表达了随机现象在大量试验中所呈现出的统计规律性
        • 频率的稳定性
        • 平均结果的稳定性

chebyshev LLN

  • {Xn∣n=1,2,⋯},是一列相互独立‾的随机变量序列if ∃C>0,s.t.∀i,D(Xi)⩽C,⇒∀ϵ>0:记X‾=1n∑i=1nXi;E(X‾)=E(1n∑i=1nXi)=1nE(∑i=1nXi)=1n∑i=1nE(Xi)E(X)‾=1n∑i=1nE(Xi)E(X‾)=E(X)‾\set{X_n|n=1,2,\cdots},是一列\underline{相互独立}的随机变量序列 \\\text{if }\exist{C>0},\text{s.t.}\forall{i},D(X_i)\leqslant{C}, \\\Rightarrow\forall \epsilon>0: \\记\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i; \\E(\overline{X})=E(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i) =\frac{1}{n}E(\sum_{i=1}^{n}X_i)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E(X_i) \\ \overline{E(X)}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E(X_i) \\E(\overline{X})=\overline{E(X)} {Xnn=1,2,},是一列相互独立的随机变量序列if C>0,s.t.i,D(Xi)C,ϵ>0:X=n1i=1nXi;E(X)=E(n1i=1nXi)=n1E(i=1nXi)=n1i=1nE(Xi)E(X)=n1i=1nE(Xi)E(X)=E(X)

  • 则chebyshevLLN可以描述为:lim⁡n→∞P(∣X‾−E(X)‾∣⩾ϵ)=0即:X‾−E(X)‾=X‾−E(X‾)⩾ϵ→P0X‾→PE(X)‾\\则chebyshevLLN可以描述为: \\ \lim_{n\to{\infin}}P(|\overline{X}-\overline{E(X)}|\geqslant{\epsilon})=0 \\即:\overline{X}-\overline{E(X)} =\overline{X}-E(\overline{X}) \geqslant{\epsilon}\xrightarrow{P}{0} \\ \overline{X}\xrightarrow{P}\overline{E(X)} chebyshevLLN可以描述为:nlimP(XE(X)ϵ)=0:XE(X)=XE(X)ϵP0XPE(X)

    • 推导:(可以由chebyshev不等式进行推导)

    • 由独立性可知:D(X‾)=1n2D(∑i=1nXi)=1n2∑i=1nD(Xi)⩽1n2nC=Cn由独立性可知: \\D(\overline{X})=\frac{1}{n^2}D(\sum_{i=1}^nX_i) =\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^nD(X_i) \leqslant{\frac{1}{n^2}nC=\frac{C}{n}} 由独立性可知:D(X)=n21D(i=1nXi)=n21i=1nD(Xi)n21nC=nC

    • 由chebyshev不等式:P(∣X−E(X)∣⩾ε)⩽D(X)ε2P(∣X‾−E(X‾)∣⩾ε)⩽D(X‾)ε2⩽1ϵ2Cn→n→∞0经过上面的放缩从而得到证明lim⁡n→∞P(∣X‾−E(X‾)∣⩾ε)=0由chebyshev不等式: \\P(|X-E(X)|\geqslant\varepsilon) \leqslant\frac{D(X)}{\varepsilon^2} \\P(|\overline{X}-E(\overline{X})|\geqslant\varepsilon) \leqslant\frac{D(\overline{X})}{\varepsilon^2} \leqslant\frac{1}{\epsilon^2}\frac{C}{n} \xrightarrow{n\to{\infin}}{0} \\经过上面的放缩从而得到证明 \\ \lim_{n\to{\infin}}P(|\overline{X}-E(\overline{X})|\geqslant\varepsilon) =0 chebyshev不等式:P(XE(X)ε)ε2D(X)P(XE(X)ε)ε2D(X)ϵ21nCn0经过上面的放缩从而得到证明nlimP(XE(X)ε)=0

应用

  • 回到前面提到的多次测量取平均值的期望和方差问题:

    • E(Xi)=μ;D(Xi)=σ2E(X)‾=1n∑i=1nE(Xi)=1nn(μ)=μE(X_i)=\mu;D(X_i)=\sigma^2 \\\overline{E(X)}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E(X_i)=\frac{1}{n}n(\mu)=\mu E(Xi)=μ;D(Xi)=σ2E(X)=n1i=1nE(Xi)=n1n(μ)=μ

bernoulli LLN

  • 🎈设Xn是n次独立试验中事件A发生的次数设X_n是n次独立试验中事件A发生的次数Xnn次独立试验中事件A发生的次数

    • 在每次试验中,事件A发生的概率是p,p∈(0,1)p,p\in(0,1)p,p(0,1)

      • 则:Xn∼B(n,p)则:X_n\sim{B(n,p)}:XnB(n,p)

      • E(Xn)=np,D(Xn)=np(1−q)E(X_n)=np,D(X_n)=np(1-q)E(Xn)=np,D(Xn)=np(1q)

    • ∀ϵ>0:\forall \epsilon>0:ϵ>0:

      • lim⁡n→∞P(∣Xnn−p∣⩾ϵ)=0即1nXn→p\lim_{n\to{\infin}}P(|\frac{X_n}{n}-p|\geqslant{\epsilon})=0 \\即\frac{1}{n}X_n\to{p} nlimP(nXnpϵ)=0n1Xnp
    • 推导:

      • 由chebyshev不等式:P(∣X−E(X)∣⩾ϵ)⩽1ϵ2D(X)P(∣1nXn−E(1nXn)∣⩾ϵ)⩽1ϵ2D(1nXn)P(∣1nXn−1nE(Xn)∣⩾ϵ)⩽1ϵ21n2D(Xn)P(∣1nXn−1nnp∣⩾ϵ)⩽1ϵ21n2np(1−p)P(∣1nXn−p∣⩾ϵ)⩽1ϵ21np(1−p)→x→∞0即lim⁡n→∞P(∣1nXn−p∣⩾ϵ)=01nXn→Pp由chebyshev 不等式: \\P(|X-E(X)|\geqslant{\epsilon})\leqslant{\frac{1}{\epsilon^2}{D(X)}} \\P(|\frac{1}{n}X_n-E(\frac{1}{n}X_n)|\geqslant{\epsilon})\leqslant{\frac{1}{\epsilon^2}{D(\frac{1}{n}X_n)}} \\P(|\frac{1}{n}X_n-\frac{1}{n}E(X_n)|\geqslant{\epsilon})\leqslant{\frac{1}{\epsilon^2}{\frac{1}{n^2}D(X_n)}} \\P(|\frac{1}{n}X_n-\frac{1}{n}np|\geqslant{\epsilon})\leqslant{\frac{1}{\epsilon^2}{\frac{1}{n^2}np(1-p)}} \\P(|\frac{1}{n}X_n- p|\geqslant{\epsilon})\leqslant{\frac{1}{\epsilon^2}{\frac{1}{n}p(1-p)}} \xrightarrow{x\to{\infin}}{0} \\即\lim_{n\to{\infin}}P(|\frac{1}{n}X_n- p|\geqslant{\epsilon})=0 \\\frac{1}{n}X_n\xrightarrow{P}p chebyshev不等式:P(XE(X)ϵ)ϵ21D(X)P(n1XnE(n1Xn)ϵ)ϵ21D(n1Xn)P(n1Xnn1E(Xn)ϵ)ϵ21n21D(Xn)P(n1Xnn1npϵ)ϵ21n21np(1p)P(n1Xnpϵ)ϵ21n1p(1p)x0nlimP(n1Xnpϵ)=0n1XnPp

意义

  • bernoulli LLN揭示了频率与概率之间的关系
    • 推导过程中的其中Xn就表示的频率推导过程中的其中X_n就表示的频率推导过程中的其中Xn就表示的频率
    • 当试验条件不变的时候,多次重复试验中,随机事件出现的频率XnX_nXn将依概率收敛于随机事件的概率p
    • 从而,以频率估计(接近)概率的这一直观经验有了严格的数学意义
    • 也就是频率的稳定性在理论上得到证明
    • 是实践中,用频率估计概率的依据

Khinchin LLN

  • 辛钦大数定律告诉我们,chebyshev LLN中要求的随机变量序列{Xn∣n=1,2,⋯}\set{X_n|n=1,2,\cdots}{Xnn=1,2,}相互独立这条件在某些情况下是多余的

  • 相比于chebyshev大数定律,具有更广的使用范围(证明需要专业知识)

    • {Xn∣n=1,2,⋯}\set{X_n|n=1,2,\cdots}{Xnn=1,2,}是独立同分布的随机变量序列

      • 记:X‾=1n∑i=1nXi记:\overline{X}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}X_i:X=n1i=1nXi

      • E(Xn)=μ存在E(X_n)=\mu存在E(Xn)=μ存在

      • ∀ϵ>0:\forall{\epsilon}>0:ϵ>0:

      • lim⁡n→∞P(∣1n∑i=1nXi−μ∣⩾ϵ)=0lim⁡n→∞P(∣X‾−μ∣⩾ϵ)=0\lim_{n\to{\infin}}P(|\frac{1}n\sum_{i=1}^{n}X_i-\mu|\geqslant{\epsilon})=0 \\ \lim_{n\to{\infin}} P(|\overline{X} -\mu|\geqslant{\epsilon})=0 nlimP(n1i=1nXiμϵ)=0nlimP(Xμϵ)=0

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文章目录聚类分析K-means算法K-中心算法DBSCAN算法聚类分析 K-means算法 算法简要步骤 随机选取K个样本点&#xff08;不一定来自样本数据&#xff09;作为初始的质心第一次迭代&#xff0c;将所有样本分配到这K个类中 对每个样本计算其到两个聚类中心的欧式距离&#xff08;…

2022年12个最佳WordPress备份插件比较

您是否正在寻找可靠的WordPress备份插件来定期备份您的网站&#xff1f; 备份就像您网站的安全网。每当您的网站因任何原因崩溃时&#xff0c;您都可以快速恢复您的网站。但是您需要确保您的备份具有最新的更改&#xff0c;否则您可能会丢失重要数据。一个好的备份插件将确保您…

艾美捷藻红蛋白RPE化学性质文献参考

艾美捷藻红蛋白RPE背景&#xff1a; R-藻红蛋白是从海藻&#xff08;甘紫菜或高氏肠枝藻&#xff09;分离的藻胆蛋白家族成员。从红藻中分离得到 R- 藻红蛋白(PE)。其主吸收峰位于565nm&#xff0c;次吸收峰位于496nm 和545nm。次级峰的相对显著性在不同种的 R-PE 中差异显著。…

前端开发学习之【Vue】-下

文章目录Vuex1.概述2.使用3.四个 map 方法4.模块化命名空间Vue Router1.SPA2.路由3.基本使用4.多级路由5.路由传参query参数6.命名路由7.路由传参params参数8.路由的props配置9.路由跳转方式10.缓存路由11. activated deactivated生命周期钩子12.路由守卫13.路由器的两种工作模…

极限多标签算法: FastXML 的解析

文章目录前言1.关于极限多标签 (XML: eXtreme multi-label Classification)1.1 流派1.2 评价指标2.FastXML2.1 FastXML的特点2.2 FastXML的局部性2.3 FastXML的拟合目标2.4 通过代码分析FastXML的拟合细节2.4.1 r\mathbf{r}^{}r的优化与拟合2.4.2 δ\deltaδ的优化与拟合 ---- …

知识图谱-命名实体-关系-免费标注工具-快速打标签-Python3

知识图谱-命名实体-关系-免费标注工具-快速打标签-Python3一、功能介绍1、代码文件夹结构2、运行环境3、自定义命名实体、关系模板4、导入文件5、选择自定义实体和关系文件6、文本标注7、撤销和取消标注8、导出和导出并退出系统9、导出文件后解析10、标注规范和KG规范11、系统提…

SQL学习二十、SQL高级特性

约束&#xff08;constraint&#xff09; 管理如何插入或处理数据库数据的规则。 DBMS 通过在数据库表上施加约束来实施引用完整性。 大多数约束是在 表定义中定义的&#xff0c;用 CREATE TABLE 或 ALTER TABLE 语句。 1、主键 &#xff08;PRIMARY KEY&#xff09; 主键是…

AMCL代码详解(六)amcl中的重采样

1.重采样判断 上一章讲述了amcl中如何根据激光观测更新粒子权重&#xff0c;当粒子更新完后amcl会需要根据程序判断是否需要进行重采样。这个判断在粒子观测更新权重后进行判断&#xff0c;代码在amcl_node.cpp中&#xff1a; if(!(resample_count_ % resample_interval_)){ p…

[GYCTF2020]Easyphp

尝试了一下万能密码不行&#xff0c;又到处翻了一下&#xff0c;扫目录结果又有www.zip 审计代码好久&#xff0c;序列化和sql结合的题还是第一次见&#xff0c;太菜了呀&#xff0c;花了很久时间才理解这个题 首先看到update.php&#xff0c;这个文件是最亮眼的&#xff0c;…

javascript 原生类 DOMParser 把 字符串格式的HTML文档源码 转换成 document DOM对象

文章目录IntroQADOMParser 在 console 的使用cheerio 在 node 项目中的使用Reference测试sumIntro 有一天我在写爬虫。 其实也说不上是爬虫&#xff0c;就是打开浏览器上网&#xff0c;觉得页面有些数据挺有意思&#xff0c;就打开开发者工具&#xff0c;在 Network/Console 中…

01.初识C语言1

一、前期准备 1.gitee网址&#xff08;代码托管网站&#xff09;&#xff1a;工作台 - Gitee.com Git教程 - 廖雪峰的官方网站 (liaoxuefeng.com) 用法&#xff1a; 1&#xff09;新建仓库 2&#xff09;随意勾选 3&#xff09;网络仓库构建完成 2.所学知识&#xff1a;计算…

【期末大作业】基于HTML+CSS+JavaScript网上订餐系统(23个页面)

&#x1f389;精彩专栏推荐 &#x1f4ad;文末获取联系 ✍️ 作者简介: 一个热爱把逻辑思维转变为代码的技术博主 &#x1f482; 作者主页: 【主页——&#x1f680;获取更多优质源码】 &#x1f393; web前端期末大作业&#xff1a; 【&#x1f4da;毕设项目精品实战案例 (10…

Jetson Orin 平台单进程采集四路独立video调试记录

1. 概述 现在有4个摄像头, 如何捕获4个摄像头(/dev/video0 - video3)在一个进程像这样: 现在只能捕捉一个相机使用gst-launch如下: gst-launch-1.0 v4l2src device=/dev/video0 ! video/x-raw,width=1280,height=720 ! videoconvert ! video/x-raw,format=I420 ! xvimagesi…

《设计模式:可复用面向对象软件的基础》——行为模式(2)(笔记)

文章目录五、行为模式5.5 MEDIATOR(中介者)1.意图补充部分2.动机3.适用性4.结构5.参与者6.协作7.效果8.实现9.代码示例10.相关模式5.6 MEMENTO ( 备忘录)1.意图2.别名3.动机4.适用性5.结构6.参与者7.协作8.效果9.实现10.代码示例11.相关模式5.7 OBSERVER (观察者)1.意图2.别名3…

21.C++11

C11的官网&#xff1a;C11 - cppreference.com 1.C11简介 在2003年C标准委员会曾经提交了一份技术勘误表(简称TC1)&#xff0c;使得C03这个名字已经取代了C98称为C11之前的最新C标准名称。不过由于TC1主要是对C98标准中的漏洞进行修复&#xff0c;语言的核心部分则没有改动&am…

Java语言实现猜数字小游戏

之前笔者在学习C语言的初级阶段&#xff0c;就已经实现了用C语言简单实现猜数字小游戏&#xff0c;既然笔者最近在学习Java的初级阶段&#xff0c;那么&#xff0c;也应该写一个Java语言实现的猜数字小游戏&#xff01;&#xff01; C语言实现猜数字小游戏&#xff1a;原文链接…

浏览器播放rtsp视频流:4、jsmpeg+go实现局域网下的rtsp视频流web端播放

文章目录1.前言2.资料准备3.兼容性及适用性说明4.jsmpeg架构5.基于以上架构的go方案可行性分析6.编译和结果展示&#xff08;编译坑点&#xff09;7.最后1.前言 之前的rtsp转webrtc的方案存在如下缺陷&#xff1a;1.只支持h264&#xff1b;2.受限于webrtc的理解难度以及搭建tu…

Hproxy项目前端

hproxy项目前端使用vue-element-admin框架&#xff0c;页面为hook列表&#xff0c;和一个添加hook页面。 添加路由 编辑src/router/index.js文件&#xff0c;在constantRoutes列表追加如下路由内容 {path: /hproxy,component: Layout,redirect: /hproxy/index,hidden: false,c…