[安乐椅 #4] 拉格朗日乘数法

拉格朗日乘数法可以用于求函数最值，其在目标函数和约束函数比较简单（如多项式函数）时有奇效。

以二元函数最值为例：

欲求 \(f(x,y)\) 的最值，有约束条件 \(\varphi(x,y)=0\)。构造拉格朗日函数 \(F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)\)，对其求各方向的一阶偏导（对函数求谁方向的偏导可以理解为主元谁后求导），令其均等于 0。则方程组的解就是 \(f(x,y)\) 可能的极值点。

即求解方程组

\[\begin{cases} F_{x}^\prime(x,y)=f_{x}^\prime(x,y)+\lambda\varphi_{x}^\prime(x,y)=0 \\ F_{y}^\prime(x,y)=f_{y}^\prime(x,y)+\lambda\varphi_{y}^\prime(x,y)=0 \\ F_{\lambda}^\prime(x,y)=\varphi(x,y)=0\end{cases} \]

的解。解出的 \(x,y\) 回代入 \(f(x,y)\) 即可取得其一个极值。