性质 1 若 λ\lambdaλ 是 A\boldsymbol{A}A 的特征值,当 A\boldsymbol{A}A 可逆时,1λ\frac{1}{\lambda}λ1 是 A−1\boldsymbol{A}^{-1}A−1 的特征值。
证明 因为 λ\lambdaλ 是 A\boldsymbol{A}A 的特征值,所以有 p≠0\boldsymbol{p} \ne 0p=0 使 Ap=λp\boldsymbol{A} \boldsymbol{p} = \lambda \boldsymbol{p}Ap=λp。于是,当 A\boldsymbol{A}A 可逆时,因为 Ap=λp\boldsymbol{A} \boldsymbol{p} = \lambda \boldsymbol{p}Ap=λp,所以
p=λA−1p\boldsymbol{p} = \lambda \boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{p} p=λA−1p
因为 p≠0\boldsymbol{p} \ne 0p=0,所以 λ≠0\lambda \ne 0λ=0。从而上式两边可以同除 λ\lambdaλ,有
A−1p=1λp=λ−1p\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{p} = \frac{1}{\lambda} \boldsymbol{p} = \lambda^{-1} \boldsymbol{p} A−1p=λ1p=λ−1p
从而 1λ\frac{1}{\lambda}λ1 是 A−1\boldsymbol{A}^{-1}A−1 的特征值。得证。