【证明】矩阵特征值的倒数是其逆矩阵的特征值

news/2024/3/19 18:47:02/文章来源:https://blog.csdn.net/Changxing_J/article/details/127255970

性质 1 若 λ\lambdaλA\boldsymbol{A}A 的特征值,当 A\boldsymbol{A}A 可逆时,1λ\frac{1}{\lambda}λ1A−1\boldsymbol{A}^{-1}A1 的特征值。

证明 因为 λ\lambdaλA\boldsymbol{A}A 的特征值,所以有 p≠0\boldsymbol{p} \ne 0p=0 使 Ap=λp\boldsymbol{A} \boldsymbol{p} = \lambda \boldsymbol{p}Ap=λp。于是,当 A\boldsymbol{A}A 可逆时,因为 Ap=λp\boldsymbol{A} \boldsymbol{p} = \lambda \boldsymbol{p}Ap=λp,所以
p=λA−1p\boldsymbol{p} = \lambda \boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{p} p=λA1p
因为 p≠0\boldsymbol{p} \ne 0p=0,所以 λ≠0\lambda \ne 0λ=0。从而上式两边可以同除 λ\lambdaλ,有
A−1p=1λp=λ−1p\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{p} = \frac{1}{\lambda} \boldsymbol{p} = \lambda^{-1} \boldsymbol{p} A1p=λ1p=λ1p
从而 1λ\frac{1}{\lambda}λ1A−1\boldsymbol{A}^{-1}A1 的特征值。得证。

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