DFIG控制10： 双馈发电机的动态模型。主要介绍DFIG在三相坐标系、定子αβ坐标系、dq同步坐标系下的模型。

本文主要是整理了DFIG的动态模型的公式和坐标变换的过程。某些描述是为了便于自己理解，不一定准确。

大部分内容参考：
G. Abad, J. Lopez, M. Rodriguez, L. Marroyo, and G. Iwanski, Doubly Fed Induction Machine: Modeling and Control for Wind Energy Generation. John Wiley & Sons, 2011.

模型主要包括4个方程：电压、磁链、转矩、运动。

三相坐标系模型

示意图

示意图如下，ABC定子，里面的转子abc在旋转。转子的各个参数已经折算到定子侧，折算后定子和转子的匝数相同。（折算方式类似于变压器的原副边折算）。转子的三个绕组旋转的角速度为转子的电角速度${\theta }_r$，是机械角速度乘以极对数$n_p{\theta }_m$

电压方程

对于定子：
$$u_{A,B,C}=R_s{i}_{A,B,C}+\frac{d{\psi }_{A,B,C}}{dt}$$
其实就是电压和磁链的关系（电磁感应定律），并且考虑了绕组内阻上的压降 。

或者写成矩阵形式：
$$\left[\begin{array}{c}{u}_A\\ u_B\\ u_C\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{R}_s& 0& 0\\ 0& R_s& 0\\ 0& 0& R_s\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{i}_A\\ i_B\\ i_C\end{array}\right]+\frac{d}{dt}\left[\begin{array}{c}{\psi }_A\\ {\psi }_B\\ {\psi }_C\end{array}\right]$$
$R_s$为定子绕组的内阻。

对于转子，
$$u_{a,b,c}=R_r{i}_{a,b,c}+\frac{d{\psi }_{a,b,c}}{dt}$$
$R_s$为转子绕组的内阻。
或者写成矩阵形式：
$$\left[\begin{array}{c}{u}_a\\ u_b\\ u_c\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{R}_r& 0& 0\\ 0& R_r& 0\\ 0& 0& R_r\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{i}_a\\ i_c\\ i_c\end{array}\right]+\frac{d}{dt}\left[\begin{array}{c}{\psi }_a\\ {\psi }_b\\ {\psi }_c\end{array}\right]$$

磁链方程

这部分内容还是可以参考变压器的模型。看了这个视频，觉得讲得还挺清楚的：第十一讲 风力发电系统基本结构+双馈电机数学模型第一部分_哔哩哔哩_bilibili

把DFIG的3个定子绕组相当于3个位置固定的电感（星形连接的），而3个转子绕组相当于3个旋转的电感（也是星形连接的）。这些电感的部分磁链于其他电感有交链，也有部分只在绕组自身交链（类似变压器的漏感）。

考虑所有这些交链关系（$\psi =\sum L_x{i}_x$），定子和转子的磁链为：
$$\left[\begin{array}{c}{\psi }_A\\ {\psi }_B\\ {\psi }_C\\ {\psi }_a\\ {\psi }_b\\ {\psi }_c\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccc}{L}_{AA}& L_{AB}& L_{AC}& L_{Aa}& L_{Ab}& L_{Ac}\\ L_{BA}& L_{BB}& L_{BC}& L_{Ba}& L_{Bb}& L_{Bc}\\ L_{CA}& L_{CB}& L_{CC}& L_{Ca}& L_{Cb}& L_{Cc}\\ L_{aA}& L_{aB}& L_{aC}& L_{aa}& L_{ab}& L_{ac}\\ L_{bA}& L_{bB}& L_{bC}& L_{ba}& L_{bb}& L_{bc}\\ L_{cA}& L_{cB}& L_{cC}& L_{ca}& L_{cb}& L_{cc}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{i}_A\\ i_B\\ i_C\\ i_a\\ i_b\\ i_c\end{array}\right]$$
其中，定子-定子之间以及转子-转子之间的电感，由于相对位置是固定的，所以电感值是常数。而定子-转子之间的电感，由于转子在转动，电感值随转子的电角度${\theta }_r$变化。
所以可以分成4部分：
$$\left[\begin{array}{c}{\mathbf{\psi }}_s\\ {\mathbf{\psi }}_r\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{\mathbf{L}}_{ss}& {\mathbf{L}}_{sr}({\theta }_r)\\ {\mathbf{L}}_{rs}({\theta }_r)& {\mathbf{L}}_{rr}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathbf{i}}_s\\ {\mathbf{i}}_r\end{array}\right]$$
下标s表示定子的3个变量，下标r表示转子的3个变量。6x6的电感矩阵，按照系数是否随电角度变化，分成了4个3x3的矩阵。
再来看一下这4个矩阵。
定子：
$${\mathbf{L}}_{ss}=\left[\begin{array}{ccc}{L}_m+L_{ls}& -0.5L_m& -0.5L_m\\ -0.5L_m& L_m+L_{ls}& -0.5L_m\\ -0.5L_m& -0.5L_m& L_m+L_{ls}\end{array}\right]$$
$L_m$是磁链有交链的部分，由于三相绕组120°的位置关系，其他两相绕组对另一相的互感都是$L_{m}cos120^{\circ }=-0.5L_m$，没有交链的是定子每相的漏感$L_{ls}$。

转子侧公式类似：
$${\mathbf{L}}_{rr}=\left[\begin{array}{ccc}{L}_m+L_{lr}& -0.5L_m& -0.5L_m\\ -0.5L_m& L_m+L_{lr}& -0.5L_m\\ -0.5L_m& -0.5L_m& L_m+L_{lr}\end{array}\right]$$
注意因为做了折算，交链的部分和定子一样，为$L_m$。不同的是，转子每相的漏感为$L_{lr}$。
定子转子之间：
$$\begin{array}{rl}& {\mathbf{L}}_{sr}({\theta }_r)={\mathbf{L}}_{rs}({\theta }_r{)}^T=\left[\begin{array}{ccc}{L}_{Aa}& L_{Ab}& L_{Ac}\\ L_{Ba}& L_{Bb}& L_{Bc}\\ L_{Ca}& L_{Cb}& L_{Cc}\end{array}\right]\\ & =L_m\left[\begin{array}{ccc}cos({\theta }_r)& cos({\theta }_r+120^{\circ })& cos({\theta }_r-120^{\circ })\\ cos({\theta }_r-120^{\circ })& cos({\theta }_r)& cos({\theta }_r+120^{\circ })\\ cos({\theta }_r+120^{\circ })& cos({\theta }_r-120^{\circ })& cos({\theta }_r)\end{array}\right]\end{array}$$
看第一行：当转子的a相和定子的A相重合时，${\theta }_r=0$，此时互感$L_{Aa}$达到最大值$L_m$。此时转子b相的物理位置超前a相120°，c相超前240°（相当于滞后120°），所以有这样的表达式。先了解到这里，没继续看更细节的内容。（这里简单认为极对数=1）

转矩和运动方程

这个没仔细看，只记录一下公式，后面转矩方程需要和电压、磁链方程一起做坐标变换。（发现篇幅太长了，转矩部分还是下次再写）。
转矩方程：
$$\begin{array}{rl}{T}_e=& n_p{L}_m[(i_A{i}_a+i_B{i}_b+i_C{i}_c)sin{\theta }_r+\\ & (i_A{i}_b+i_B{i}_c+i_C{i}_a)sin({\theta }_r+120^{\circ })+\\ & (i_A{i}_c+i_B{i}_a+i_C{i}_b)sin({\theta }_r-120^{\circ })]\end{array}$$
理想的运动方程（应该是大物里面见过）：
$$\frac{J}{n_p}\frac{d{\omega }_r}{dt}=T_e-T_L$$
描述了电机在电磁转矩$T_e$和负载转矩$T_L$作用下的加减速。${\omega }_r/n_p$为机械角速度，J为转动惯量。

定子αβ静止坐标系模型

为了简化模型，引入了3/2变换（Clarke变换）。主要是基于三相电压、电流有一定关系，不是完全独立的：比如在星形连接中，$i_a+i_b+i_c=0$，所以知道两相的值就可以求得另一相的值；三相电流实际只需要两个量来表示。（具体原理可以参考其他文章，比如，手撕系列（2）：Clark变换与Park变换 - 知乎 (zhihu.com)）

这里强调定子αβ静止坐标系，是因为转子的变量经过3/2变换后，是在相对转子静止的转子αβ坐标系上，而这个坐标系（后面按照参考书的方式称为转子DQ坐标系）相对定子αβ静止坐标系以转子的电角速度${\omega }_r$旋转

abc三相坐标系、定子αβ静止坐标系、转子DQ坐标系、同步dq坐标系的关系：

1. abc三相坐标系没画全，a轴和α轴重合。
2. 转子DQ坐标系和同步dq坐标系都是在旋转的，角速度如下。
   

这里使用等幅值变换，并且A轴和α轴重合：
$$\left[\begin{array}{c}{x}_{\alpha }\\ x_{\beta }\\ x_0\end{array}\right]=T_{3/2}\left[\begin{array}{c}{x}_a\\ x_b\\ x_c\end{array}\right]=\frac{2}{3}\left[\begin{array}{ccc}1& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ 0& \frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_a\\ x_b\\ x_c\end{array}\right]$$
变换矩阵把第三行也加上，只是为了后面便于计算逆矩阵。

使用矢量表示

一些推导在矢量表示下更方便。
举例如下：

$$\left[\begin{array}{c}Xcos(\omega t)\\ Xcos(\omega t-\frac{2}{3}\pi )\\ Xcos(\omega t+\frac{2}{3}\pi )\end{array}\right]\stackrel{T_{3/2}}{\to }\left[\begin{array}{c}Xcos(\omega t)\\ Xsin(\omega t)\end{array}\right]\stackrel{T_{\alpha \beta /dq}}{\to }\left[\begin{array}{c}X\\ 0\end{array}\right]$$
这个过程也可以用矢量表示为：
$$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{c}Xcos(\omega t)\\ Xcos(\omega t-\frac{2}{3}\pi )\\ Xcos(\omega t+\frac{2}{3}\pi )\end{array}\right]\stackrel{T_{3/2}}{\to }& {\vec{X}}^{\alpha \beta }=Xcos(\omega t)+jXsin(\omega t)=X{e}^{j\omega t}\\ \stackrel{e^{-j\omega t}}{\to }& {\vec{X}}^{dq}=X\end{array}$$

1. 经过Clarke变换后，把α轴分量作为实部，β轴分量作为虚部，平衡的三相信号可以表示为一个在αβ坐标系逆时针旋转的矢量，矢量的模等于X（因为等幅值变换），角速度为$\omega$，角度为 $\omega t$。
2. 如果采用dq同步坐标系，就是说让坐标系与信号同步旋转，在dq坐标系下，三相信号最终变成了一个静止的矢量。
3. 注意αβ->dq变换（Park变换）是对信号做运算，其目的是把信号变换到一个逆时针旋转，角速度也为$\omega$的dq坐标系上。而对于信号而言，让坐标轴逆时针旋转，其实就是让信号顺时针旋转，从而抵消在静止坐标系下的角速度，最终得到直流量。这也就是park变换被表示为$e^{-j\omega t}$的原因。（因为需要用到，把park变换也简单介绍一下）

电压方程（矢量形式）

对定子电压做3/2变换：
$$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{c}{u}_{\alpha }\\ u_{\beta }\\ u_0\end{array}\right]=T_{3/2}\left[\begin{array}{c}{u}_A\\ u_B\\ u_C\end{array}\right]& =T_{3/2}\left[\begin{array}{ccc}{R}_s& 0& 0\\ 0& R_s& 0\\ 0& 0& R_s\end{array}\right]T_{3/2}^{-1}\cdot T_{3/2}\left[\begin{array}{c}{i}_A\\ i_B\\ i_C\end{array}\right]+T_{3/2}\frac{d}{dt}\left[\begin{array}{c}{\psi }_A\\ {\psi }_B\\ {\psi }_C\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{ccc}{R}_s& 0& 0\\ 0& R_s& 0\\ 0& 0& R_s\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{i}_{\alpha }\\ i_{\beta }\\ i_0\end{array}\right]+\frac{d}{dt}\left[\begin{array}{c}{\psi }_{\alpha }\\ {\psi }_{\beta }\\ {\psi }_0\end{array}\right]\end{array}$$

注意矩阵中间的 $T_{3/2}^{-1}\cdot T_{3/2}=E$，（单位矩阵）。计算时，$T_{3/2}^{-1}$和前面结合，$T_{3/2}$和后面的电流向量结合，实现αβ转换。
只看前两行，写成矢量形式：
$${\vec{u}}_s=R_s{\vec{i}}_s+\frac{d}{dt}{\vec{\psi }}_s$$
从这个方程可以看出，定子电压${\vec{u}}_s$的相位超前定子磁链${\vec{\psi }}_s$ 约90°（如果忽略$R_s$）

转子电压和定子电压表达式类似，做3/2变换，省略中间过程，写成矢量形式：
$${\vec{u}}_r^r=R_r{\vec{i}}_r^r+\frac{d}{dt}{\vec{\psi }}_r^r$$

注意转子物理量的上标r。此时转子坐标系与定子坐标系不同。

只经过3/2变换，转子的物理量位于相对转子静止的坐标系上（参考书中称为大写的DQ坐标系），而这个坐标系以转子的电角速度${\omega }_r$旋转，与定子坐标系的夹角为${\omega }_{r}t$。

目标是把转子的物理量也放到定子αβ静止坐标系中。所以，需要把转子的坐标系旋转$-{\omega }_{r}t$，相对地，也就是把转子的物理量旋转${\omega }_{r}t$。（有点绕）。这样处理以后，把上标r去掉，表示定子和转子的物理量是在同一个坐标系中（定子αβ静止坐标系）：
$$\begin{array}{rl}{\vec{u}}_r={\vec{u}}_r^r{e}^{j{\omega }_{r}t}& =R_r{\vec{i}}_r^r{e}^{j{\omega }_{r}t}+e^{j{\omega }_{r}t}\frac{d}{dt}{\vec{\psi }}_r^r\\ & =R_r{\vec{i}}_r+\frac{d}{dt}{\vec{\psi }}_r-j{\omega }_r{\vec{\psi }}_r\end{array}$$
备注：
1.推导过程其实是复合函数的求导
$$\begin{array}{rl}{\vec{\psi }}_r& =e^{j{\omega }_{r}t}{\vec{\psi }}_r^r,\\ \frac{d}{dt}{\vec{\psi }}_r& =\frac{d{e}^{j{\omega }_{r}t}{\vec{\psi }}_r^r}{dt}=e^{j{\omega }_{r}t}\frac{d}{dt}{\vec{\psi }}_r^r+{\vec{\psi }}_r^r\frac{d{e}^{j{\omega }_{r}t}}{dt}\\ & =e^{j{\omega }_{r}t}\frac{d}{dt}{\vec{\psi }}_r^r+{\vec{\psi }}_r^r(j{\omega }_r{e}^{j{\omega }_{r}t})\\ & =e^{j{\omega }_{r}t}\frac{d}{dt}{\vec{\psi }}_r^r+j{\omega }_r{\vec{\psi }}_r\\ \to & e^{j{\omega }_{r}t}\frac{d}{dt}{\vec{\psi }}_r^r=\frac{d}{dt}{\vec{\psi }}_r-j{\omega }_r{\vec{\psi }}_r\end{array}$$
2.$-j{\omega }_r{\vec{\psi }}_r$导致转子物理量的αβ分量之间存在耦合
3.转子物理量的角频率为 ${\omega }_{s1}={\omega }_e-{\omega }_r$。（例如，转子电流的角速度=转差角速度=定子（电网）角速度-转子电角速度）。在转子的DQ坐标系中，转子的物理量可以表示为$X{e}^{j{\omega }_{s1}t}$。转换到定子αβ静止坐标系，转子的物理量变为$X{e}^{j{\omega }_{s1}t}{e}^{j{\omega }_{r}t}=X{e}^{j{\omega }_{e}t}$。也就是说，在定子αβ静止坐标系，转子和定子的物理量具有相同的频率。

整理电压方程的矢量形式如下：
$$\{\begin{array}{l}{\vec{u}}_s=R_s{\vec{i}}_s+\frac{d}{dt}{\vec{\psi }}_s\\ {\vec{u}}_r=R_r{\vec{i}}_r+\frac{d}{dt}{\vec{\psi }}_r-j{\omega }_r{\vec{\psi }}_r\end{array}$$

电压方程（αβ形式）

让矢量的实部和虚部分别相等，把电压方程写成αβ形式：
$$\{\begin{array}{ll}{u}_{s\alpha }& =R_s{i}_{s\alpha }+\frac{d}{dt}{\psi }_{s\alpha }\\ u_{s\beta }& =R_s{i}_{s\beta }+\frac{d}{dt}{\psi }_{s\beta }\\ u_{r\alpha }& =R_r{i}_{r\alpha }+\frac{d}{dt}{\psi }_{r\alpha }+{\omega }_r{\psi }_{r\beta }\\ u_{r\beta }& =R_r{i}_{r\beta }+\frac{d}{dt}{\psi }_{r\beta }-{\omega }_r{\psi }_{r\alpha }\end{array}$$
注意转子电压方程中的耦合项。

磁链方程（αβ形式）

磁链方程不知道怎么样直接用矢量来做。。所以还是先αβ形式再矢量形式吧。
对比矢量形式和矩阵形式（其中 ${\omega }_{r}t={\theta }_r$）

$$\begin{array}{rl}{\vec{i}}_r& =e^{j{\theta }_r}{\vec{i}}_r^r,{\vec{i}}_r^r=e^{-j{\theta }_r}{\vec{i}}_r^r\\ {\mathbf{i}}_{r\alpha \beta }& =T_r({\theta }_r){\mathbf{i}}_r^r,{\mathbf{i}}_r^r=T_r(-{\theta }_r){\mathbf{i}}_{r\alpha \beta }\end{array}$$
其中，$T_r({\theta }_r)$实现逆时针旋转${\theta }_r$（park反变换），$T_r(-{\theta }_r)$实现顺时针旋转${\theta }_r$（park变换）。（都写成3x3矩阵，便于运算）

$$\begin{array}{rl}{T}_r({\theta }_r)& =\left[\begin{array}{ccc}cos{\theta }_r& -sin{\theta }_r& 0\\ sin{\theta }_r& cos{\theta }_r& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right],(\text{inversePark})\\ T_r(-{\theta }_r)& =\left[\begin{array}{ccc}cos{\theta }_r& sin{\theta }_r& 0\\ -sin{\theta }_r& cos{\theta }_r& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right],(\text{Park})\\ T_r^{-1}({\theta }_r)& =T_r(-{\theta }_r)\end{array}$$

补充一些用到的式子：

1. 矩阵乘法：$MTAB=MTA[(MT{)}^{-1}MT]B=MTA{T}^{-1}{M}^{-1}(MTB)$
2. 定子侧物理量的Clarke变换：$T_{3/2}{\mathbf{x}}_s={\mathbf{x}}_{s\alpha \beta }$
3. 转子侧物理量的Clarke变换：$T_{3/2}{\mathbf{x}}_r={\mathbf{x}}_{s\alpha \beta }^r$
4. 转子侧物理量Clarke变换后，再变换到定子αβ坐标系上：$T_r({\theta }_r)T_{3/2}{\mathbf{x}}_r=T_r{\theta }_r{\mathbf{x}}_{s\alpha \beta }^r={\mathbf{x}}_{s\alpha \beta }$

之前三相坐标系下的磁链表达式为：
$$\left[\begin{array}{c}{\mathbf{\psi }}_s\\ {\mathbf{\psi }}_r\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{\mathbf{L}}_{ss}& {\mathbf{L}}_{sr}({\theta }_r)\\ {\mathbf{L}}_{rs}({\theta }_r)& {\mathbf{L}}_{rr}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathbf{i}}_s\\ {\mathbf{i}}_r\end{array}\right]$$
先把定子磁链变换到定子αβ坐标系${\mathbf{\psi }}_{s\alpha \beta }$（注意其中转子电流的表达式）：
$$\begin{array}{rl}{\mathbf{\psi }}_{s\alpha \beta }=T_{3/2}{\mathbf{\psi }}_s& =T_{3/2}{\mathbf{L}}_{ss}{T}_{3/2}^{-1}(T_{3/2}{\mathbf{i}}_s)+T_{3/2}{\mathbf{L}}_{sr}({\theta }_r)T_{3/2}^{-1}(T_{3/2}{\mathbf{i}}_r)\\ & =T_{3/2}{\mathbf{L}}_{ss}{T}_{3/2}^{-1}{\mathbf{i}}_{s\alpha \beta }+T_{3/2}{\mathbf{L}}_{sr}({\theta }_r)T_{3/2}^{-1}{\mathbf{i}}_r^r\\ & =(T_{3/2}{\mathbf{L}}_{ss}{T}_{3/2}^{-1}){\mathbf{i}}_{s\alpha \beta }+\left[T_{3/2}{\mathbf{L}}_{sr}({\theta }_r)T_{3/2}^{-1}{T}_r(-{\theta }_r)\right]{\mathbf{i}}_{r\alpha \beta }\end{array}$$
其中，两个电感矩阵在变换后变为：
$$\begin{array}{rl}{T}_{3/2}{\mathbf{L}}_{ss}{T}_{3/2}^{-1}& =\left[\begin{array}{ccc}1.5L_m+L_{ls}& 0& 0\\ 0& 1.5L_m+L_{ls}& 0\\ 0& 0& L_{ls}\end{array}\right]\\ T_{3/2}{\mathbf{L}}_{sr}({\theta }_r)T_{3/2}^{-1}{T}_r(-{\theta }_r)& =\left[\begin{array}{ccc}1.5L_m& 0& 0\\ 0& 1.5L_m& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\end{array}$$

在mathCAD中的计算结果：

第二行，转子磁链 ${\mathbf{\psi }}_{r\alpha \beta }$，需要在Clark变换后，再转过${\theta }_r$（左乘 $T_r({\theta }_r)$），才转换到αβ定子坐标系下。
$$\begin{array}{rl}{\mathbf{\psi }}_{r\alpha \beta }& =T_r({\theta }_r){\mathbf{\psi }}_{r\alpha \beta }^r=T_r({\theta }_r)T_{3/2}{\mathbf{\psi }}_r\\ & =T_r({\theta }_r)T_{3/2}{\mathbf{L}}_{rs}({\theta }_r)T_{3/2}^{-1}(T_{3/2}{\mathbf{i}}_s)+\left[T_r({\theta }_r)T_{3/2}{\mathbf{L}}_{rr}{T}_{3/2}^{-1}{T}_r(-{\theta }_r)\right]\left[T_r({\theta }_r)T_{3/2}{\mathbf{i}}_r\right]\\ & =T_r({\theta }_r)T_{3/2}{\mathbf{L}}_{rs}({\theta }_r)T_{3/2}^{-1}{\mathbf{i}}_{s\alpha \beta }+\left[T_r({\theta }_r)T_{3/2}{\mathbf{L}}_{rr}{T}_{3/2}^{-1}{T}_r(-{\theta }_r)\right]{\mathbf{i}}_{r\alpha \beta }\end{array}$$

其中，两个电感矩阵在变换后变为：
$$\begin{array}{rl}{T}_r({\theta }_r)T_{3/2}{\mathbf{L}}_{rs}({\theta }_r)T_{3/2}^{-1}& =\left[\begin{array}{ccc}1.5L_m& 0& 0\\ 0& 1.5L_m& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\\ T_r({\theta }_r)T_{3/2}{\mathbf{L}}_{rr}{T}_{3/2}^{-1}{T}_r(-{\theta }_r)& =\left[\begin{array}{ccc}1.5L_m+L_{lr}& 0& 0\\ 0& 1.5L_m+L_{lr}& 0\\ 0& 0& L_{lr}\end{array}\right]\end{array}$$
在mathCAD中的计算结果：

（第二个矩阵表达式比较长，分两步计算）

只看前两行，这些电感矩阵在变换后都变成了对角矩阵，并且系数都变成了常数（不再有$cos({\theta }_r)$项），模型得到了简化。

$$\{\begin{array}{ll}{\psi }_{s\alpha }& =(1.5L_m+L_{ls})i_{s\alpha }+1.5L_m{i}_{r\alpha }=L_s{i}_{s\alpha }+L_M{i}_{r\alpha }\\ {\psi }_{s\beta }& =(1.5L_m+L_{ls})i_{s\beta }+1.5L_m{i}_{r\beta }=L_s{i}_{s\beta }+L_M{i}_{r\beta }\\ {\psi }_{r\alpha }& =(1.5L_m+L_{lr})i_{r\alpha }+1.5L_m{i}_{s\alpha }=L_r{i}_{r\alpha }+L_M{i}_{s\alpha }\\ {\psi }_{r\beta }& =(1.5L_m+L_{lr})i_{r\beta }+1.5L_m{i}_{s\beta }=L_r{i}_{r\beta }+L_M{i}_{s\beta }\end{array}$$

磁链方程（矢量形式）

根据磁链方程的αβ形式可以写出矢量形式。

$$\{\begin{array}{ll}{\vec{\psi }}_s& =L_s{\vec{i}}_s+L_M{\vec{i}}_r\\ {\vec{\psi }}_r& =L_r{\vec{i}}_r+L_M{\vec{i}}_s\end{array}$$

dq坐标系模型

回顾之前的推导，在定子αβ静止坐标系，转子和定子的物理量具有相同的频率，也就是${\omega }_e$。所以，在dq坐标系的转速为${\omega }_e$时，
一些物理量会变成直流量，便于控制。之前也提到了，让坐标轴逆时针旋转${\omega }_{e}t$，就是把对应的物理量顺时针旋转${\omega }_{e}t$，也就是$e^{-j\omega t}\vec{x}$

矢量形式

把定子αβ静止坐标系的电压方程两边都乘以$e^{-j\omega t}$，得到# dq坐标系下的电压方程：
电压方程中，$e^{-j\omega t}{\vec{u}}_s={\vec{u}}_s^a$。上标a代表dq轴下的物理量。
注意对于磁链的微分，略有不同，之前推导过：$e^{-j{\omega }_{e}t}\frac{d}{dt}\vec{\psi }=\frac{d}{dt}{\vec{\psi }}^a+j{\omega }_e{\vec{\psi }}^a$
记得角速度的关系：${\omega }_e={\omega }_{s1}+{\omega }_r$，电网速度=转差速度+转子电角速度。其中，转子物理量（电压、电流、磁链）的角速度就是转差速度${\omega }_{s1}$，所以这个方程是还挺对称的。
$$\{\begin{array}{l}{\vec{u}}_s^a=R_s{\vec{i}}_s^a+\frac{d}{dt}{\vec{\psi }}_s^a+j{\omega }_e{\vec{\psi }}_s^a\\ {\vec{u}}_r^a=R_r{\vec{i}}_r^a+\frac{d}{dt}{\vec{\psi }}_r^a+j({\omega }_e-{\omega }_r){\vec{\psi }}_r^a=R_r{\vec{i}}_r^a+\frac{d}{dt}{\vec{\psi }}_r^a+j{\omega }_{s1}{\vec{\psi }}_r^a\end{array}$$

磁链方程形式没有变，只是上标加了个a，表示是dq轴下的量。

$$\{\begin{array}{ll}{\vec{\psi }}_s^a& =L_s{\vec{i}}_s^a+L_M{\vec{i}}_r^a\\ {\vec{\psi }}_r^a& =L_r{\vec{i}}_r^a+L_M{\vec{i}}_s^a\end{array}$$

αβ形式

根据矢量形式，同样可以写出αβ形式。
电压方程：
$$\{\begin{array}{ll}{u}_{sd}& =R_s{i}_{sd}+\frac{d}{dt}{\psi }_{sd}-{\omega }_e{\psi }_{sq}\\ u_{sq}& =R_s{i}_{sq}+\frac{d}{dt}{\psi }_{sq}+{\omega }_e{\psi }_{sd}\\ u_{rd}& =R_r{i}_{rd}+\frac{d}{dt}{\psi }_{rd}-{\omega }_{s1}{\psi }_{rq}\\ u_{rq}& =R_r{i}_{rq}+\frac{d}{dt}{\psi }_{rq}+{\omega }_{s1}{\psi }_{rd}\end{array}$$

磁链方程：
$$\{\begin{array}{ll}{\psi }_{sd}& =L_s{i}_{sd}+L_M{i}_{rd}\\ {\psi }_{sq}& =L_s{i}_{sq}+L_M{i}_{rq}\\ {\psi }_{rd}& =L_r{i}_{rd}+L_M{i}_{sd}\\ {\psi }_{rq}& =L_r{i}_{rq}+L_M{i}_{sq}\end{array}$$

参考资料

1. 第十一讲 风力发电系统基本结构+双馈电机数学模型第一部分_哔哩哔哩_bilibili11~16讲和DFIG有关，可以看下。
2. G. Abad, J. Lopez, M. Rodriguez, L. Marroyo, and G. Iwanski, Doubly Fed Induction Machine: Modeling and Control for Wind Energy Generation. John Wiley & Sons, 2011.
3. 自己买的中文书，讲得比较简略，如果只看这两本，我是看不懂的：
   1. 马宏伟，风力发电系统控制原理
   2. 王毅，风力发电系统的建模与仿真