前言
  本文用于练习时间复杂度求解，共20+题，难度适中，题目来源为考研教辅书以及网上搜集，如有错误请指出，会第一时间进行修改。

1 求时间复杂度

1、求下列程序时间复杂度

void function(int n)
{if (n==1)return;for (int i=1; i<=n; i++){for (int j=1; j<=n; j++){cout << "*";break;}cout << endl;}
}

解析
别把内层的break看漏了



答案
$O(n)$



2、求下列程序时间复杂度

void function(int n)
{int count = 0;for (int i=n/2; i<=n; i++)for (int j=1; j<=n; j = 2 * j)for (int k=1; k<=n; k = k * 2)count++;
}

解析

void function(int n)
{int count = 0;// 执行 n/2 次for (int i=n/2; i<=n; i++)// 执行 n/2 次for (int j=1; j+n/2<=n; j = j++)// 执行 logn 次for (int k=1; k<=n; k = k * 2)count++;
}

因此结果就是三个层的时间复杂度相乘。



答案
$O(n^{2}logn)$



3、求下列程序时间复杂度

void function(int n)
{int count = 0;for (int i=0; i<n; i++)for (int j=i; j< i*i; j++)if (j%i == 0){for (int k=0; k<j; k++)printf("*");}
}

解析

void function(int n)
{int count = 0;// 执行 n 次for (int i=0; i<n; i++)// 执行 O(n*n) 次for (int j=i; j< i*i; j++)if (j%i == 0){// 执行 j 次 = O(n*n) 次for (int k=0; k<j; k++)printf("*");}
}

把每层执行次数乘起来，即可粗略得出时间复杂度。



答案
$O(n^5)$



4、求下列程序时间复杂度

count = 0
for (int i = N; i > 0; i /= 2)
for (int j = 0; j < i; j++)count++;

解析
这是道易错题。有些人会认为最外层循环执行了$logN$次，最内层$N$次，所以总时间复杂度为$O(NlogN)$次。这就是经典的错误~


正解：

考虑下count++会运行多少次：
当i=N时，它将运行N次。
当i=N/2时，它将运行N/2次。
当i=N/4时，它将运行N/4次。
以此类推···

因此，count++总共会运行N+N/2+N/4+...+1=2*N次。因此时间复杂度为$O(N)$。



答案
$O(N)$



5、其中n为正整数，则最后一行的语句频度在最坏的情况下为:

for(int i = n - 1; i >= 1; --i)for(int j = 1; j <=	i; ++j)if(A[j] > A[j + 1]) swap(A[j], A[j + 1]);

解析
冒泡排序，最坏情况下相当于两个for循环跑满，故为$O(n^2)$



答案
$O(n^2)$



6、(2019·华中科技大学) 什么是时间复杂度？
解析略

7、求下列程序时间复杂度

int a = 0;
for (i = 0; i < N; i++) {for (j = N; j > i; j--) {a = a + i + j;}
}

解析
外层共执行N-1次，内层每次执行N - i次。因此可以列出式子：
$$\sum _{i=0}^{N-1}(N-i)=\sum _{i=0}^{N-1}N-\sum _{i=0}^{N-1}i=N^2-\frac{N(0+N-1)}{2}=\frac{1}{2}{N}^2+\frac{1}{2}N\approx O(N^2)$$



答案
$O(N^2)$



8、求下列程序时间复杂度

void fun(int n){int i = 0;while(i * i * i <= n)i++;
}

解析
i++是基本运算，整体上不会改变循环的时间复杂度，故忽略不计；由t*t*t≤n，得到结果是O($\sqrt[3]{n}$)



答案
O($\sqrt[3]{n}$)



9、求 “m++” 执行次数

int m = 0, i, j;
for(i = 1; i <= n; i++)for(j = 1; j <= 2 * i; j++)m++;

解析
可以列出式子：
$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{2i}1=\sum _{i=1}^{n}2i=2\sum _{i=1}^{n}i=2\frac{n(n+1)}{2}=n(n+1)$



答案
n(n+1)



10、求下列程序时间复杂度

int fact(int n){if(n <= 1) return 1;return n * fact(n - 1);
}

解析
递归算法的时间复杂度: 递归次数 * 每次递归中的操作次数
这里每次调用递归参数减1，故一共执行了n次递归调用。



答案
$O(n)$



11、求下列程序时间复杂度

int func(int n){int i = 0, sum = 0;while(sum < n) sum += ++i;return i;
}

解析
列举一些算式来找规律：
由sum += ++i，得sum = sum + ++i
接着设t为循环执行的次数，则：

t=1时, sum = 0 + ++i = 0 + 1;
t=2时, sum = 0 + 1 + ++i = 0 + 1 + 2;
t=3时, sum = 0 + 1 + 2 + ++i = 0 + 1 + 2 + 3;

于是可以推出sum值计算式为：
t=k时, sum = 0 + 1 + 2 + ··· + ++(k-1) = 0 + 1 + 2 + ··· + k=k(1+k)/2
因为sum < n是终止循环的条件，所以我们令k(1+k)/2 < n，即
$$\frac{k(1+k)}{2}<n$$
计算过程此处不赘述，结果忽略掉常数项，保留n那一项就行。
解得 k = $n^{\frac{1}{2}}$
故时间复杂度为O($n^{\frac{1}{2}}$)



答案
O($n^{\frac{1}{2}}$)



12、求下列程序时间复杂度

for(int i = 1; i <= n; i++)for(int j = 1; j <= i; j++)for(int k = 1; k <= j; k++)x++;

解析
计算过程中用到了等差数列求和公式以及平方和公式：
$O(\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^i\sum _{k=1}^{j}1)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{i}j=\sum _{i=1}^n\frac{i(1+i)}{2}=\frac{1}{2}\sum _{i=1}^n(i+i^2)=\frac{1}{2}(\frac{(1+n)n}{2}+\frac{n(n+1)(2n+1)}{6})=\frac{6n^2-2n^3+n+1}{12}\approx O(\frac{1}{6}{n}^3)\approx O(n^3)$



答案
$O(n^3)$

2 求递归式时间复杂度

1、一个算法所需时间由下述递归方程表示，试求出该算法的时间复杂度的级别(下式中，n是问题的规模，n为2的整数次幂)

T(n) = $\{\begin{array}{l}1,n=1\\ 2T(n/2)+n,n>1\end{array}$

解析
对于递归程序求时间复杂度，有许多方法进行求解，如master定理、递归树、递推法等。
这里使用递推法来解题：
首先根据题意，得到①式：
$$T(n)=2T(\frac{n}{2})+n\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot ①$$
接着用扩展递归技术将递推式进行扩展，即令n=n/2得到②式：
$$=2T(\frac{\frac{n}{2}}{2})+\frac{n}{2}\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot ②$$
再将②式代入①式，得到③式：
$$T(n)=2(2T(\frac{\frac{n}{2}}{2})+\frac{n}{2})+n\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot ③$$
接着重复②③式的计算步骤：
$$=T(n)=2T(n/2)+n$$
$$=2^{2}T(\frac{n}{2^2})+2^n$$
$$...$$
当$k=lo{g}_{2}n$时，递归结束，此时即为最终的递推式：
$$T(n)=2^{lo{g}_{2}n}T(1)+nlo{g}_{2}n$$
$$=n(lo{g}_{2}n+1)$$
$$=O(nlo{g}_{2}n)$$



答案
$O(nlo{g}_{2}n)$

补充

扩展递归技术是一种求解递推关系式的方法。它的作用是将递推关系式中等式右边的项根据递推式替换，这称为扩展，扩展后的项被再此扩展，依次下去，就会得到一个求和表达式。这样可以方便地计算出递归算法的时间复杂度。

2、一个算法所需时间由下述递归方程表示，试求出该算法的时间复杂度的级别

T(n) = $\{\begin{array}{l}1,0\le n\le 1\\ 2T(n-1)+1,n>1\end{array}$

解析
递推法：
由T(n)=2T(n-1)+1，于是推出
$$T(1)=2T(0)+1=2^0+2^0-1$$
$$T(2)=2T(1)+1=2^1+2^1-1$$
$$T(3)=2T(2)+1=2^2+2^2-1$$
$$...$$
$$T(n)=2T(n-1)+1=2^{n-1}+2^{n-1}-1=2^n-1$$
保留最高次项，最终得：$T(n)=2^n-1=O(2^n)$



答案
$O(2^n)$



3、分析递归与非递归算法下，斐波那契数列的时间复杂度

F(n) = $\{\begin{array}{l}0,n=0\\ 1,n=1\\ F(n-1)+F(n-2),n>1\end{array}$

递归算法

int Fib1(long long num){ if ((num == 1) || (num == 0)){ return num; } return Fib1(num-1)+Fib1(num-2); 
} 

解析
搞清楚了再回来填坑 (´ο｀)

答案


非递归算法：

int Fib(int n) {if (n == 0) return 0;if (n == 1) return 1;int a = 0, b = 1;for (int i = 2; i <= n; i++) {int temp = a + b;a = b;b = temp;}return b;
}

解析
非递归算法只需用到一个循环。用两个变量来存储前两项的值，用一个循环来更新它们。



答案
$O(n)$

4、如下函数 mergesort() 执行的时间复杂度为多少?
假设函数调用被写为mergesort(1,n)，函数 merge() 的时间复杂度为$O(n)$

void mergesort(int i, int j){int m;if(i != j){m = (i + j) / 2;mergesort(i, m);mergesort(i + 1, j);merge(i, j, m);  //这一句函数复杂度为O(n)}
}

解析

答案
$O(nlo{g}_{2}n)$ or $O(nlogn)$
两种写法是等价的，均为正确

5、一个算法所需时间由下述递归方程表示，试求出该算法的时间复杂度的级别

T(n) = $\{\begin{array}{l}3T(n-1),n>0\\ 1,otherwise\end{array}$

解析
根据递归式展开：
$$T(n)=3T(n-1)$$
$$=3(3T(n-2))$$
$$=3^{2}T(n-2)$$
$$=3^{3}T(n-3)$$
$$\dots$$
$$=3^{n}T(n-n)$$
$$=3^{n}T(0)=3^n$$



答案
$O(3^n)$



6、一个算法所需时间由下述递归方程表示，试求出该算法的时间复杂度的级别

T(n) = $\{\begin{array}{l}2T(n-1)–1,n>0,\\ 1,otherwise\end{array}$

解析
  展开递归式,计算前几项的值，你会发现每个式子结果都等于1：
$$T(n)=2T(n-1)–1=1$$
$$=2^2(T(n-2))–2–1=1$$
$$=2^3(T(n-3))–2^2–2^1–2^0=1$$
$$\dots$$
因此时间复杂度就是$O(1)$。
  注意，虽然本题一眼看上去递归关系是指数的，但通过展开递归关系式，得到了完全不同的结果。因此在处理这类问题的时候，最好能把递归式展开再确定时间复杂度。



答案
$O(1)$

附送一张壁纸ヽ(^ｰ^)人(^ｰ^)ノ