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题目链接

https://leetcode.cn/problems/shortest-subarray-with-sum-at-least-k/

题目

思路

https://leetcode.cn/problems/shortest-subarray-with-sum-at-least-k/solution/liang-zhang-tu-miao-dong-dan-diao-dui-li-9fvh/

前缀和

定义前缀和$s[0]=0$，$s[i+1]=\sum _{j=0}^{i}nums[j]$

例如，nums = [1,2,-1,2]，对应的前缀和数组为s=[0,1,3,2,4]

通过前缀和，我们可以把子数组的和转换成两个前缀和的差，即

$\sum _{j=left}^{right}nums[j]=\sum _{j=0}^{right}nums[j]-\sum _{j=0}^{left}nums[j]=s[right+1]-s[left]$

例如，nums的子数组[2,-1,2]的和就可以用s[4]-s[1]=4-1=3，这时，right=3，left=1

注意：
为了方便计算，常用左闭右开区间[left,right)来表示子数组，此时子数组的和为s[right]-s[left]，子数组的长度为right-left

暴力法

求出nums的前缀和s后，可以用暴力法，枚举所有的i>j且s[i]-s[j]>=k的子数组[j,i)，取其中最小的i-j作为答案

import java.util.Arrays;class Solution {public int shortestSubarray(int[] nums, int k) {int[] prefixSum = new int[nums.length + 1];prefixSum[0] = 0;for (int i = 1; i < prefixSum.length; i++) {prefixSum[i] = prefixSum[i - 1] + nums[i - 1];}int arrLen = Integer.MAX_VALUE;for (int i = 1; i < prefixSum.length; i++) {for (int j = 0; j < i; j++) {if (prefixSum[i] - prefixSum[j] >= k) {arrLen = Math.min(arrLen, i - j);}}}return arrLen == Integer.MAX_VALUE ? -1 : arrLen;}
}

暴力法的时间复杂度是$O(n^2)$

可以在遍历前缀和s数组的时候，同时用某个合适的数据结构来维护遍历过的s[i]，并即时移除无用的s[i]

优化一

遍历到s[i]时，考虑左边的某个s[j]，如果s[i]-s[j]>=k，那么无论s[i]右边的数字是大是小，都不可能把j当作子数组的左端点，得到一个比i-j更短的子数组。因此s[j]没有任何作用了

优化二

如果s[i]<=s[j]，加入后续有数字x能和s[j]组成满足要求的子数组，即x-s[j]>=k，那么必然也有x-s[i]>=k，由于从s[i]到x这段数组更短，因此s[j]没有任何作用了

做完这两个优化后，再把s[i]加到这个数据结构中

由于优化二保证了数据结构中的s[i]会形成一个递增序列，因此优化一移除的是序列最左侧的若干元素，优化二移除的是序列最右侧的若干元素。我们需要一个数据结构，它支持移除最左端的元素和最右端的元素，以及在最右端添加元素，故选用双端队列

由于双端队列的元素始终保持单调递增，因此这种数据结构也叫做单调队列

另一种写法

在计算前缀和的同时去计算答案，这需要在双端队列中额外存储前缀和的值

由于前缀和的初始值0在遍历nums之前就算出来了，因此需要在遍历之前，往双端队列中插入前缀和0及其下标-1

关于-1的解释
因为上面遍历的是s，下面遍历的nums，两者的下标偏移了一位

import java.util.LinkedList;class Solution {public int shortestSubarray(int[] nums, int k) {int res = Integer.MAX_VALUE;LinkedList<Pair> q = new LinkedList<>();q.add(new Pair(0L, -1));long curS = 0L;for (int i = 0; i < nums.length; i++) {curS += nums[i];//优化一while (!q.isEmpty() && curS - q.getFirst().key >= k) {res = Math.min(res, i - q.pollFirst().value);}//优化二while (!q.isEmpty() && q.getLast().key >= curS) {q.pollLast();}q.add(new Pair(curS, i));}return res == Integer.MAX_VALUE ? -1 : res;}class Pair {Long key;Integer value;public Pair() {}public Pair(Long key, Integer value) {this.key = key;this.value = value;}}
}