【小呆的力学笔记】连续介质力学的知识点回顾二:应变度量

news/2024/7/25 20:49:11/文章来源:https://blog.csdn.net/u012915522/article/details/138330121

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        • 3. 格林应变与阿尔曼西应变

3. 格林应变与阿尔曼西应变

变形体在变形前的线元 O A → \overrightarrow{OA} OA ,在变形后变成 o a → \overrightarrow{oa} oa ,那么应变应该度量这种线元变形前后的差别。
∣ o a → ∣ 2 − ∣ O A → ∣ 2 = d x i d x i − d x i ′ d x i ′ = ∂ x i ∂ x j ′ d x j ′ ⋅ ∂ x i ∂ x k ′ d x k ′ − d x i ′ d x i ′ = ∂ x i ∂ x j ′ ∂ x i ∂ x k ′ d x j ′ d x k ′ − d x i ′ d x i ′ = ( ∂ x i ∂ x j ′ ∂ x i ∂ x k ′ − δ j k ) d x j ′ d x k ′ (3.1) \begin{aligned} |\overrightarrow{oa}|^2-|\overrightarrow{OA}|^2&=dx_idx_i-dx^{'}_idx^{'}_i\\ &=\frac{\partial x_i}{\partial x^{'}_j}dx^{'}_j\cdot\frac{\partial x_i}{\partial x^{'}_k}dx^{'}_k-dx^{'}_idx^{'}_i\\ &=\frac{\partial x_i}{\partial x^{'}_j}\frac{\partial x_i}{\partial x^{'}_k}dx^{'}_jdx^{'}_k-dx^{'}_idx^{'}_i\\ &=(\frac{\partial x_i}{\partial x^{'}_j}\frac{\partial x_i}{\partial x^{'}_k}-\delta_{jk}) dx^{'}_jdx^{'}_k \end{aligned}\tag{3.1} oa 2OA 2=dxidxidxidxi=xjxidxjxkxidxkdxidxi=xjxixkxidxjdxkdxidxi=(xjxixkxiδjk)dxjdxk(3.1)
上式中括号中为度量线元变化的无量纲度量,将此取为应变度量,即格林应变
E i j = 1 2 ( ∂ x k ∂ x i ′ ∂ x k ∂ x j ′ − δ i j ) (3.2) E_{ij}=\frac{1}{2}(\frac{\partial x_k}{\partial x^{'}_i}\frac{\partial x_k}{\partial x^{'}_j}-\delta_{ij}) \tag{3.2} Eij=21(xixkxjxkδij)(3.2)
将其写成矩阵形式,如下所示
E = 1 2 ( F T F − I ) (3.3) E=\frac{1}{2}(F^TF-I) \tag{3.3} E=21(FTFI)(3.3)
格林应变以变形前的位形作为参考状态,同样可以用变形后的位形作为参考状态,那么线元前后的变化如下式所示

∣ o a → ∣ 2 − ∣ O A → ∣ 2 = d x i d x i − d x i ′ d x i ′ = δ i j d x i d x j − ∂ x i ′ ∂ x j d x j ⋅ ∂ x i ′ ∂ x k d x k = δ i j d x i d x j − ∂ x i ′ ∂ x j ∂ x i ′ ∂ x k d x j d x k = ( δ j k − ∂ x i ′ ∂ x j ∂ x i ′ ∂ x k ) d x j d x k (3.4) \begin{aligned} |\overrightarrow{oa}|^2-|\overrightarrow{OA}|^2&=dx_idx_i-dx^{'}_idx^{'}_i\\ &=\delta_{ij} dx_idx_j-\frac{\partial x^{'}_i}{\partial x_j}dx_j\cdot\frac{\partial x^{'}_i}{\partial x_k}dx_k\\ &=\delta_{ij} dx_idx_j-\frac{\partial x^{'}_i}{\partial x_j}\frac{\partial x^{'}_i}{\partial x_k}dx_jdx_k\\ &=(\delta_{jk}-\frac{\partial x^{'}_i}{\partial x_j}\frac{\partial x^{'}_i}{\partial x_k}) dx_jdx_k \end{aligned}\tag{3.4} oa 2OA 2=dxidxidxidxi=δijdxidxjxjxidxjxkxidxk=δijdxidxjxjxixkxidxjdxk=(δjkxjxixkxi)dxjdxk(3.4)
定义应变度量,即阿尔曼西应变
e i j = 1 2 ( δ i j − ∂ x k ′ ∂ x i ∂ x k ′ ∂ x j ) (3.5) e_{ij}=\frac{1}{2}(\delta_{ij}-\frac{\partial x^{'}_k}{\partial x_i}\frac{\partial x^{'}_k}{\partial x_j}) \tag{3.5} eij=21(δijxixkxjxk)(3.5)
将其写成矩阵形式,如下所示
e = 1 2 ( I − F − T F − 1 ) (3.6) e=\frac{1}{2}(I-F^{-T}F^{-1}) \tag{3.6} e=21(IFTF1)(3.6)

欧拉描述和拉格朗日描述的位移如下所示

u i = x i ( x j ′ , t ) − x i ′ u i = x i − x i ′ ( x j , t ) (3.7) u_i=x_i(x^{'}_j,t)-x^{'}_i\\ u_i=x_i-x^{'}_i(x_j,t)\tag{3.7} ui=xi(xj,t)xiui=xixi(xj,t)(3.7)
如果用位移来表示上述两种应变,那么有
∂ u i ∂ x j ′ = ∂ x i ∂ x j ′ − δ i j ∂ u i ∂ x j = δ i j − ∂ x i ′ ∂ x j (3.8) \frac{\partial u_i}{\partial x^{'}_j}=\frac{\partial x_i}{\partial x^{'}_j}-\delta_{ij}\\ \frac{\partial u_i}{\partial x_j}=\delta_{ij}-\frac{\partial x^{'}_i}{\partial x_j}\tag{3.8} xjui=xjxiδijxjui=δijxjxi(3.8)

将上式代入(3.2)式,可得
E i j = 1 2 ( ∂ x k ∂ x i ′ ∂ x k ∂ x j ′ − δ i j ) = 1 2 [ ( ∂ u k ∂ x i ′ + δ k i ) ( ∂ u k ∂ x j ′ + δ k j ) − δ i j ] = 1 2 ( ∂ u k ∂ x i ′ ∂ u k ∂ x j ′ + δ k i ∂ u k ∂ x j ′ + δ k j ∂ u k ∂ x i ′ + δ k i δ k j − δ i j ) = 1 2 ( ∂ u k ∂ x i ′ ∂ u k ∂ x j ′ + ∂ u i ∂ x j ′ + ∂ u j ∂ x i ′ ) (3.9) \begin{aligned} E_{ij}&=\frac{1}{2}(\frac{\partial x_k}{\partial x^{'}_i}\frac{\partial x_k}{\partial x^{'}_j}-\delta_{ij}) \\ &=\frac{1}{2}[(\frac{\partial u_k}{\partial x^{'}_i}+\delta_{ki})(\frac{\partial u_k}{\partial x^{'}_j}+\delta_{kj})-\delta_{ij}]\\ &=\frac{1}{2}(\frac{\partial u_k}{\partial x^{'}_i}\frac{\partial u_k}{\partial x^{'}_j}+\delta_{ki}\frac{\partial u_k}{\partial x^{'}_j}+\delta_{kj}\frac{\partial u_k}{\partial x^{'}_i}+\delta_{ki}\delta_{kj}-\delta_{ij})\\ &=\frac{1}{2}(\frac{\partial u_k}{\partial x^{'}_i}\frac{\partial u_k}{\partial x^{'}_j}+\frac{\partial u_i}{\partial x^{'}_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x^{'}_i})\tag{3.9} \end{aligned} Eij=21(xixkxjxkδij)=21[(xiuk+δki)(xjuk+δkj)δij]=21(xiukxjuk+δkixjuk+δkjxiuk+δkiδkjδij)=21(xiukxjuk+xjui+xiuj)(3.9)
将上式写成矩阵形式,此时需要引入哈密顿算子 ∇ \nabla 和张量积
∇ u = [ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z ] [ u x u y u z ] = [ ∂ u x ∂ x ∂ u y ∂ x ∂ u z ∂ x ∂ u x ∂ y ∂ u y ∂ y ∂ u z ∂ y ∂ u x ∂ z ∂ u y ∂ z ∂ u z ∂ z ] u ∇ = [ u x u y u z ] [ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z ] = [ ∂ u x ∂ x ∂ u x ∂ y ∂ u x ∂ z ∂ u y ∂ x ∂ u y ∂ y ∂ u y ∂ z ∂ u z ∂ x ∂ u z ∂ y ∂ u z ∂ z ] (3.10) \nabla u=\begin{bmatrix} \frac{\partial}{\partial x}\\ \frac{\partial}{\partial y}\\ \frac{\partial}{\partial z} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} u_x& u_y& u_z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{\partial u_x}{\partial x}& \frac{\partial u_y}{\partial x}& \frac{\partial u_z}{\partial x}\\ \frac{\partial u_x}{\partial y}& \frac{\partial u_y}{\partial y}& \frac{\partial u_z}{\partial y}\\ \frac{\partial u_x}{\partial z}& \frac{\partial u_y}{\partial z}& \frac{\partial u_z}{\partial z} \end{bmatrix}\\\quad\\ u\nabla =\begin{bmatrix}u_x\\ u_y\\ u_z \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \frac{\partial}{\partial x}& \frac{\partial}{\partial y}& \frac{\partial}{\partial z} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{\partial u_x}{\partial x}& \frac{\partial u_x}{\partial y}& \frac{\partial u_x}{\partial z}\\ \frac{\partial u_y}{\partial x}& \frac{\partial u_y}{\partial y}& \frac{\partial u_y}{\partial z}\\ \frac{\partial u_z}{\partial x}& \frac{\partial u_z}{\partial y}& \frac{\partial u_z}{\partial z} \end{bmatrix}\tag{3.10} u= xyz [uxuyuz]= xuxyuxzuxxuyyuyzuyxuzyuzzuz u= uxuyuz [xyz]= xuxxuyxuzyuxyuyyuzzuxzuyzuz (3.10)
那么式(3.9)矩阵形式为
E = 1 2 ( ∇ 0 u + u ∇ 0 + ∇ 0 u ⋅ u ∇ 0 ) (3.11) E=\frac{1}{2}(\nabla_0 u+u\nabla_0 +\nabla_0 u\cdot u\nabla_0)\tag{3.11} E=21(0u+u0+0uu0)(3.11)
其中下标表示对初始坐标求微分。
将式(3.8)代入(3.5)式,可得
e i j = 1 2 ( δ i j − ∂ x k ′ ∂ x i ∂ x k ′ ∂ x j ) = 1 2 [ δ i j − ( δ k i − ∂ u k ∂ x i ) ( δ k j − ∂ u k ∂ x j ) ] = 1 2 ( δ i j − δ k i δ k j + δ k j ∂ u k ∂ x i + δ k i ∂ u k ∂ x j − ∂ u k ∂ x i ∂ u k ∂ x j ) = 1 2 ( ∂ u j ∂ x i + ∂ u i ∂ x j − ∂ u k ∂ x i ∂ u k ∂ x j ) (3.12) \begin{aligned} e_{ij}&=\frac{1}{2}(\delta_{ij}-\frac{\partial x^{'}_k}{\partial x_i}\frac{\partial x^{'}_k}{\partial x_j}) \\ &=\frac{1}{2}[\delta_{ij}-(\delta_{ki}-\frac{\partial u_k}{\partial x_i})(\delta_{kj}-\frac{\partial u_k}{\partial x_j})]\\ &=\frac{1}{2}(\delta_{ij}-\delta_{ki}\delta_{kj}+\delta_{kj}\frac{\partial u_k}{\partial x_i}+\delta_{ki}\frac{\partial u_k}{\partial x_j}-\frac{\partial u_k}{\partial x_i}\frac{\partial u_k}{\partial x_j})\\ &=\frac{1}{2}(\frac{\partial u_j}{\partial x_i}+\frac{\partial u_i}{\partial x_j}-\frac{\partial u_k}{\partial x_i}\frac{\partial u_k}{\partial x_j}) \tag{3.12} \end{aligned} eij=21(δijxixkxjxk)=21[δij(δkixiuk)(δkjxjuk)]=21(δijδkiδkj+δkjxiuk+δkixjukxiukxjuk)=21(xiuj+xjuixiukxjuk)(3.12)
那么式(3.12)矩阵形式为
e = 1 2 ( ∇ u + u ∇ − ∇ u ⋅ u ∇ ) (3.13) e=\frac{1}{2}(\nabla u+u\nabla -\nabla u\cdot u\nabla)\tag{3.13} e=21(u+uuu)(3.13)

下面对格林应变和阿尔曼西应变进行一些讨论。
将式(3.1)式进行一些变化,原式
∣ o a → ∣ 2 − ∣ O A → ∣ 2 = 2 E i j d x i ′ d x j ′ (3.14) \begin{aligned} |\overrightarrow{oa}|^2-|\overrightarrow{OA}|^2&=2E_{ij}dx^{'}_idx^{'}_j \end{aligned}\tag{3.14} oa 2OA 2=2Eijdxidxj(3.14)
d s = ∣ o a → ∣ ds=|\overrightarrow{oa}| ds=oa d S = ∣ O A → ∣ dS=|\overrightarrow{OA}| dS=OA ,那么
d s 2 − d S 2 = 2 E i j d x i ′ d x j ′ (3.15) ds^2-dS^2=2E_{ij}dx^{'}_idx^{'}_j\tag{3.15} ds2dS2=2Eijdxidxj(3.15)
将上式左右各除 d S 2 dS^2 dS2,那么有
d s 2 d S 2 − 1 = 2 E i j d x i ′ d S d x j ′ d S = 2 E i j α i ′ α j ′ (3.16) \begin{aligned} \frac{ds^2}{dS^2}-1&=2E_{ij}\frac{dx^{'}_i}{dS}\frac{dx^{'}_j}{dS}\\ &=2E_{ij}\alpha_i^{'}\alpha_j^{'} \end{aligned}\tag{3.16} dS2ds21=2EijdSdxidSdxj=2Eijαiαj(3.16)
其中 α i ′ \alpha_i^{'} αi O A → \overrightarrow{OA} OA 单位化后的各分量。
在一维情况下,小应变为 ϵ = d s − d S d S \epsilon=\frac{ds-dS}{dS} ϵ=dSdsdS,代入可得
( ϵ + 1 ) 2 = 1 + 2 E 11 → 2 ϵ + ϵ 2 = 2 E 11 (3.17) (\epsilon+1)^2=1+2E_{11}\rightarrow2\epsilon+\epsilon^2=2E_{11}\tag{3.17} (ϵ+1)2=1+2E112ϵ+ϵ2=2E11(3.17)

上述都是针对线应变,现在来讨论角应变,在讨论角应变时,式(3.1)就应该改为
∣ o a → ∣ ⋅ ∣ o b → ∣ − ∣ O A → ∣ ⋅ ∣ O B → ∣ = d x i δ x i − d x i ′ δ x i ′ = ∂ x i ∂ x j ′ d x j ′ ⋅ ∂ x i ∂ x k ′ δ x k ′ − d x i ′ δ x i ′ = ∂ x m ∂ x i ′ ∂ x m ∂ x j ′ d x i ′ δ x j ′ − d x i ′ δ x i ′ = ( ∂ x m ∂ x i ′ ∂ x m ∂ x j ′ − δ i j ) d x i ′ δ x j ′ = 2 E i j d x i ′ δ x j ′ (3.1’) \begin{aligned} |\overrightarrow{oa}|\cdot |\overrightarrow{ob}|-|\overrightarrow{OA}|\cdot|\overrightarrow{OB}|&=dx_i\delta x_i-dx^{'}_i\delta x^{'}_i\\ &=\frac{\partial x_i}{\partial x^{'}_j}dx^{'}_j\cdot\frac{\partial x_i}{\partial x^{'}_k}\delta x^{'}_k-dx^{'}_i\delta x^{'}_i\\ &=\frac{\partial x_m}{\partial x^{'}_i}\frac{\partial x_m}{\partial x^{'}_j}dx^{'}_i\delta x^{'}_j-dx^{'}_i \delta x^{'}_i\\ &=(\frac{\partial x_m}{\partial x^{'}_i}\frac{\partial x_m}{\partial x^{'}_j}-\delta_{ij}) dx^{'}_i\delta x^{'}_j\\ &=2E_{ij}dx^{'}_i\delta x^{'}_j \end{aligned}\tag{3.1'} oa ob OA OB =dxiδxidxiδxi=xjxidxjxkxiδxkdxiδxi=xixmxjxmdxiδxjdxiδxi=(xixmxjxmδij)dxiδxj=2Eijdxiδxj(3.1’)
上式进一步改为
∣ o a → ∣ ⋅ ∣ o b → ∣ − ∣ O A → ∣ ⋅ ∣ O B → ∣ = d s δ s cos ⁡ θ − d S δ S cos ⁡ θ 0 = 2 E i j d x i ′ δ x j ′ (3.18) \begin{aligned} |\overrightarrow{oa}|\cdot |\overrightarrow{ob}|-|\overrightarrow{OA}|\cdot|\overrightarrow{OB}| &=ds\delta s\cos\theta-dS\delta S\cos\theta_0\\ &=2E_{ij}dx^{'}_i\delta x^{'}_j \end{aligned}\tag{3.18} oa ob OA OB =dsδscosθdSδScosθ0=2Eijdxiδxj(3.18)
上式两端除以 d S δ S dS\delta S dSδS,同时 θ 0 = π 2 \theta_0=\frac{\pi}{2} θ0=2π α i = d x i ′ d S \alpha_i=\frac{dx^{'}_i}{dS} αi=dSdxi α j = δ x j ′ δ S \alpha_j=\frac{\delta x^{'}_j}{\delta S} αj=δSδxj,因此上式改为
d s d S δ s δ S cos ⁡ θ − cos ⁡ θ 0 = d s d S δ s δ S cos ⁡ θ = λ a λ b sin ⁡ θ a b = 2 E i j α i α j (3.19) \begin{aligned} \frac{ds}{dS} \frac{\delta s}{\delta S}\cos\theta-\cos\theta_0 &=\frac{ds}{dS} \frac{\delta s}{\delta S}\cos\theta\\ &=\lambda^{a}\lambda^{b}\sin\theta_{ab}\\ &=2E_{ij}\alpha_i\alpha_j \end{aligned}\tag{3.19} dSdsδSδscosθcosθ0=dSdsδSδscosθ=λaλbsinθab=2Eijαiαj(3.19)
其中 sin ⁡ θ a b = π 2 − θ \sin\theta_{ab}=\frac{\pi}{2}-\theta sinθab=2πθ即为角应变,由下式确定
sin ⁡ θ a b = 2 E i j α i α j λ a λ b (3.20) \sin\theta_{ab}=\frac{2E_{ij}\alpha_i\alpha_j}{\lambda^{a}\lambda^{b}}\tag{3.20} sinθab=λaλb2Eijαiαj(3.20)
格林应变张量中的 E i j E_{ij} Eij与角应变的关系中还包含线伸长量,因此不想小应变假设中的 γ i j \gamma_{ij} γij这么简单。

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