一，树

1.2 树的相关概念

1.3 树的表示

1.4 树在实际中的运用（表示文件系统的目录树结构）

二，二叉树

2.1二叉树概念

三，特殊的二叉树

1. 满二叉树

2. 完全二叉树

3. 1 二叉树的性质

3. 2 二叉树的存储结构

1. 顺序存储

3. 3 堆的概念及结构

3. 4 堆的实现（以大堆为例）

1. Heap.h 结构体创建 + 函数声明

2. Heap.c 函数实现

3. HeapText.c 测试

4. 向上调整算法（以大堆为例）

2. 堆的删除数据（大堆）

3. 向下调整算法（大堆）

3. 5 堆的应用

1. Top-K问题

2. 堆排序

3. 堆排序：建堆时间复杂度O（N）证明

一，树

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点。
除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继结点，因此，树是递归定义的。

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

1.2 树的相关概念

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；如上图：A的为6

叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点；如上图：B、C、H、I...等节点为叶节点

非终端节点或分支节点：度不为0的节点；如上图：D、E、F、G...等节点为分支节点

双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；如上图：A是B的父节点

孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；如上图：B是A的孩子节点

兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；如上图：B、C是兄弟节点

树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；如上图：树的度为6

节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；

树的高度或深度：树中节点的最大层次；如上图：树的高度为4

堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点

节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先

子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙

森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；

1.3 树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既然保存值域，也要保存结点和结点之间的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

typedef int DataType;
struct   Node
{structNode*_firstChild1;    // 第一个孩子结点structNode*_pNextBrother;   // 指向其下一个兄弟结点DataType_data;               // 结点中的数据域
};

如图：

1.4 树在实际中的运用（表示文件系统的目录树结构）

二，二叉树

2.1二叉树概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:

1. 或者为空。

2. 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

可以看出：

1. 二叉树不存在度大于2的结点。

2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

三，特殊的二叉树

1. 满二叉树

：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是2^k - 1，则它就是满二叉树。

2. 完全二叉树

：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

如图：

3. 1 二叉树的性质

1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i - 1)个结点

2. 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是n = 2^h - 1。

3.若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h = log2 (n + 1)。

4. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为K,度为2的分支结点为Z，则有K = Z + 1。

5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：

若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点
若2i+1<n，左孩子序号： 2i+1， 2i+1>=n否则无左孩子
若2i+1+1<n，右孩子序号：2i+1+1，2i+2>=n否则无右孩子

如图：

3. 2 二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。

1. 顺序存储

顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

3. 3 堆的概念及结构

概念：言简意赅的说，父亲的值大于孩子，就叫大堆；反之，叫小堆。

堆的性质：

堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；
堆总是一棵完全二叉树。

3. 4堆的实现（以大堆为例）

注：向上，下调整算法和删除堆数据单独详解

1. Heap.h 结构体创建 + 函数声明

#pragma once
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<assert.h>
#include<stdbool.h>typedef int HeapDateType;
typedef struct Heap {HeapDateType* a;int size;int capacity;
}HP;//                                        小堆 
// 堆初始化
void HeapInit(HP* hp);
// 插入数据,并自动调整数据
void HeapPush(HP* hp, HeapDateType x);
// 对堆空间扩容
void Heap_add_room(HP* hp);
// 删除数据
void HeapPop(HP* hp);
// 销毁数据
void HeapDestroy(HP* hp);
// 打印二叉数数据
void HeapPrint(HP* hp);
// 向下调整数据
void HeapAjustDown(int* a, int size, int parent);
// 向上调整数据
void HeapAjustUp(int* a, int child);
// 交换位置
void Swap(int* n1, int* n2);
// 判断堆是否为空
bool HeapEmpty(HP* hp);
// 返回堆顶元素
HeapDateType HeapTop(HP* hp);

2. Heap.c 函数实现

#pragma once
#include"Heap.h"
//二叉树初始化
void HeapInit(HP* hp) {assert(hp);hp->a = NULL;hp->size = hp->capacity = 0;
}// 销毁数据
void HeapDestroy(HP* hp)
{assert(hp);free(hp->a);/*hp->a = NULL; // hp 首先是在栈上的变量，数据在函数完成后自动回收,所以不用担心野指针free(hp);*/hp->size = hp->capacity = 0;
}
// 打印二叉数
void HeapPrint(HP* hp)
{assert(hp);assert(!HeapEmpty(hp));for (int i = 0; i < hp->size; i++){printf("%d  ", hp->a[i]);}printf("\n");
}// 删除数据
void HeapPop(HP* hp)
{assert(hp);assert(!HeapEmpty(hp));//交换堆顶， 堆底数据Swap(&hp->a[0], &hp->a[hp->size - 1]);hp->size--;                               // 没有减一// 再向下调整HeapAjustDown(hp->a, hp->size, 0);
}// 插入数据,并自动调整数据
void HeapPush(HP* hp, HeapDateType x) {assert(hp);if (hp->size == hp->capacity){Heap_add_room(hp);}hp->a[hp->size++] = x;// 向上调整HeapAjustUp(hp->a, hp->size - 1);// 输入最后一个有效数字的下标
}// 向下调整
void HeapAjustDown(int *a, int size, int parent)
{assert(a);int child = 2 * parent + 1;while (child < size){if (child + 1 < size && a[child + 1] > a[child])                       // 大堆{child++;}if (a[child] > a[parent])                       // 选大的{Swap(&a[child], &a[parent]);parent = child;child = 2 * parent + 1;}else{break;}}
}
// 向上调整数据
void HeapAjustUp(int * a, int child) // 孩子下标
{assert(a);int parent = (child - 1) / 2;while (child > 0) // 不能为负数{if (a[child] > a[parent])    // 大的替换{//交换Swap(&a[child], &a[parent]);child = parent;parent = (child - 1) / 2;}else{break;}}
}
// 交换位置
void Swap(int* n1, int* n2) 
{int tmp = *n1;*n1 = *n2;*n2 = tmp;
}
// 判断堆是否为空
bool HeapEmpty(HP* hp)
{assert(hp);return hp->size == 0;
}void Heap_add_room(HP* hp)
{int newcapacity = hp->capacity == 0 ? 4 : hp->capacity * 2;HeapDateType* tmp = (HeapDateType*)realloc(hp->a, sizeof(HeapDateType) * newcapacity);if (tmp == NULL){perror("realloc");exit(-1);}hp->a = tmp;hp->capacity = newcapacity;
}HeapDateType HeapTop(HP* hp)
{assert(hp && !HeapEmpty(hp));return hp->a[0];
}

3. HeapText.c 测试

#pragma once
#include"Heap.h"
void text()
{int b[6] = {34, 32, 31, 12, 3, 28};HP hp;HeapInit(&hp);for (int i = 0; i < 6; i++){HeapPush(&hp, b[i]);}HeapPrint(&hp);HeapPush(&hp, 56);HeapPrint(&hp);HeapPush(&hp, 16);HeapPrint(&hp);HeapDestroy(&hp);
}

4. 向上调整算法（以大堆为例）

我们可以知道堆的物理存储是数组，为了保持堆的性质，所以堆插入只允许最后插入，而这时需要对插入的数据进行位置调整，以保持小（或大）堆。

parent下标： (child - 1) / 2

代码：

// 向上调整数据
void HeapAjustUp(int * a, int child) // 孩子下标
{assert(a);int parent = (child - 1) / 2;while (child > 0) // 不能为负数,为0时已经到堆顶了{   // 就2种情况，要么需要调整，要么呆在原地。if (a[child] > a[parent])    // 大的替换{//交换Swap(&a[child], &a[parent]);child = parent;          // 孩子移动到父亲位置parent = (child - 1) / 2; // 父亲结点移动到其父亲的结点}else               {break;}}
}

2. 堆的删除数据（大堆）

删除堆是删除堆顶的数据，将堆顶的数据根最后一个数据一换，然后删除数组最后一个数据，再进行向下调整算法。

3. 向下调整算法（大堆）

// 向下调整
void HeapAjustDown(int *a, int size, int parent)  
{assert(a);int child = 2 * parent + 1;while (child < size){if (child + 1 < size && a[child + 1] > a[child])// 向下调整有左右孩子，我们寻找大的{child++;}if (a[child] > a[parent])      // 大则调整，反之，停止调整{Swap(&a[child], &a[parent]);parent = child;child = 2 * parent + 1;}else{break;}}
}

排大堆你会了吗？那小堆怎么排呢？我们可以这么想，向上调整算法目的是将大的孩子送上去，向下算法目的也是将大的孩子向堆高层送，所以将他们的判断方法取小于就行。

3. 5 堆的应用

1. Top-K问题

TOP-K问题：即求数据结合中前K个最大的元素或者最小的元素，一般情况下数据量都比较大。

比如：专业前10名、世界500强、富豪榜、游戏中前100的活跃玩家等。

对于Top-K问题，能想到的最简单直接的方式就是排序，但是：如果数据量非常大，排序就不太可取了(可能数据都不能一下子全部加载到内存中)。最佳的方式就是用堆来解决，基本思路如下：

1. 用数据集合中前K个元素来建堆

前k个最大的元素，则建小堆
前k个最小的元素，则建大堆

2. 用剩余的N-K个元素依次与堆顶元素来比较，不满足则替换堆顶元素，将剩余N-K个元素依次与堆顶元素比完之后，堆中剩余的K个元素就是所求的前K个最小或者最大的元素。

例子：求1000个数据中最大10个数。

第一步：数组前10个数据用来建立10个值的小堆。

代码：

// 创建一个堆HP hp;HeapInit(&hp);// 完成前K个的初始化for (int i = 0; i < K; i++){HeapPush(&hp, ps[i]);  // 将小的向上调整}

第二步：如果数组中的值大于堆顶，则进入堆中，调整数据。（2种方法）

1. 方法一：

2. 方法二：代码：

// 开始逐步替换里面的数for (int i = K; i < n; i++){if (ps[i] > HeapTop(&hp)){hp.a[0] = ps[i];  // 方法一： 只调用一次函数（更优）HeapAjustDown(hp.a, hp.size, 0);/*HeapPop(&hp);   // 方法二： 调用三次函数HeapPush(&hp, ps[i]);*/}}

最后代码如下：

void PrintTok(HeapDateType *ps, int n, int K)
{// 创建一个堆HP hp;HeapInit(&hp);// 完成前K个的初始化for (int i = 0; i < K; i++){HeapPush(&hp, ps[i]);  // 将小的向上调整}// 开始逐步替换里面的数for (int i = K; i < n; i++){if (ps[i] > HeapTop(&hp)){hp.a[0] = ps[i];  // 方法一： 只调用一次函数（更优）HeapAjustDown(hp.a, hp.size, 0);/*HeapPop(&hp);   // 方法二： 调用三次函数HeapPush(&hp, ps[i]);*/}}// 寻找完后开始打印这前k个数HeapPrint(&hp);
}
void text2() {  // 测试函数int n = 10000;   // 从10000个数据中找出前10个HeapDateType* a = (HeapDateType*)malloc(sizeof(HeapDateType) * n);if (a == NULL){printf("malloc fail");exit(-1);}srand(time(0));    //  准备随机数int K = 10;for (int  i = 0; i < n; i++){a[i] = rand() % 10000;  // 产生随机数录入用例数组}a[2] = 10000 + 10;a[3] = 10000 + 9;a[2353] = 10000 + 8;a[5678] = 10000 + 7;a[2324] = 10000 + 6;a[9999] = 10000 + 5;a[3435] = 10000 + 4;a[3432] = 10000 + 3;a[234] = 10000 + 2;a[34] = 10000 + 1;PrintTok(a, n, K);
}

2. 堆排序

我们通过TOPK算法求出了最大的前10个，但我们无法知道前10个的具体排名，而这时堆排序可以很好的解决这个问题。

思路：

1. 建堆

升序：建大堆
降序：建小堆

2. 利用堆删除思想来进行排序

建堆和堆删除中都用到了向下调整，因此掌握了向下调整，就可以完成堆排序。

以排降序为例，过程图如下：

第一步：建堆。假设我们用TopK算法求出了最大的前5名，我们知道数组已经是小堆形式了，这时需要我们进行把小堆转化为大堆，这样也就完成了建堆操作。

建堆的时间复杂度：O（N) ----- 等会证明

过程图如下：

代码实现：

for (int parent = (size - 1- 1) / 2; parent >= 0; parent--){HeapAjustDown(a, size, parent);}

第二步：删除数据向下调（之前我也不理解，但画很容易理解）

以逻辑结构视角：

以物理结构视角：

全部代码：

// 排升序 0 -> 10
void HeapSort(HeapDateType* a, int size)
{   // 1. 建堆for (int parent = (size - 1- 1) / 2; parent >= 0; parent--){HeapAjustDown(a, size, parent);}// 2. 排序for (int end = size - 1; end >= 0; end--) {Swap(&a[end], &a[0]);HeapAjustDown(a, end, 0);}
}