前置知识：第二类换元法

介绍

由$\sin x,\cos x$与常数经过有限次四则运算所得到的表达式称为三角有理式，记作$R(\sin x,\cos x)$。对它的不定积分$\int R(\sin x,\cos x)dx$，作半角代换：$t=\tan \frac{x}{2}$。

由三角函数公式的万能公式可得，有

$\sin \alpha =\frac{2\tan \frac{\alpha }{2}}{1+{\tan }^2\frac{\alpha }{2}}$

$\cos \alpha =\frac{1-{\tan }^2\frac{\alpha }{2}}{1+{\tan }^2\frac{\alpha }{2}}$

$\tan \alpha =\frac{2\tan \frac{\alpha }{2}}{1-{\tan }^2\frac{\alpha }{2}}$

于是

$\int R(\sin x,\cos x)dx=\int R(\frac{2t}{1+t^2},\frac{1-t^2}{1+t^2})\cdot \frac{2}{1+t^2}dt$

因为任何三角有理函数都可以用这个代换方法找到初等的原函数，所以$t=\tan \frac{x}{2}$常被称为“万能代换”。

例题

计算$\int \frac{1+\sin x}{1+\cos x}dx$

解：
\qquad 令$t=\tan \frac{x}{2}$，则有

$1+\sin x=1+\frac{2t}{1+t^2}=\frac{(1+t{)}^2}{1+t^2}$

$1+\cos x=1+\frac{1-t^2}{1+t^2}=\frac{2}{1+t^2}$

\qquad 所以

$\int \frac{1+\sin x}{1+\cos x}dx=\int \frac{\frac{(1+t{)}^2}{1+t^2}}{\frac{2}{1+t^2}}\cdot \frac{2}{1+t^2}dt=\int \frac{(1+t{)}^2}{2}\cdot \frac{2}{1+t^2}dt$

$=\int (1+\frac{2t}{1+t^2})dt=t+\ln (1+t^2)+C$

$=\tan \frac{x}{2}-\ln [\frac{1}{{\cos }^{2}x}({\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x)]+C=\tan \frac{x}{2}-2\ln |\cos \frac{x}{2}|+C$

总结

万能代换的过程很繁琐，但并没有太大的思维难度。如果一道三角有理函数求原函数的题一直想不出来，不妨试试用万能代换。